\(x.P\left(x-1\right)=\left(x-2\right).P\left(x\right)\) (1)

Thay \(x=0\) vào (1) \(\Rightarrow0.P\left(-1\right)=-2.P\left(0\right)\Rightarrow P\left(0\right)=0\)

\(\Rightarrow x=0\) là 1 nghiệm của đa thức

Thay \(x=2\) vào (1):

\(2.P\left(1\right)=0.P\left(2\right)\Rightarrow P\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của đa thức

\(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=0;x-1\)

Mà bậc P(x) nhỏ hơn 4 nên P(x) tối đa có bậc 3

\(\Rightarrow P\left(x\right)=k.x.\left(x-1\right).\left(ax+b\right)\) với \(k\ne0\)

Thay vào (1)

\(\Rightarrow x.k\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b\right)=kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax+b\right)\)

\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b-ax-b\right)=0\)

\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right).\left(-a\right)=0\)

\(\Rightarrow a=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right)\) với a là số thực khác 0 bất kì

Bài 1 :

x² - x - 2 = x² - 2x + x - 2

= x( x - 2 ) + ( x - 2 ) = ( x - 2 ) ( x + 1 )

Để x³ + ax + b ⋮ ( x - 2 ) ( x + 1) thì :

x³ + ax + b = ( x - 2 ) ( x + 1 ) . Q

Vì đẳng thức trên đúng với mọi x, do đó :

+) đặt x = 2 ta có :

2³ + 2a + b = ( 2 - 2 ) ( 2 + 1 ) . Q

8 + 2a + b = 0

2a + b = -8

b = -8 - 2a (1)

+) đặt x = -1 ta có :

(-1)³ + (-1)a + b = ( -1 - 2 ) ( -1 + 1 ) . Q

-1 - a + b = 0

-a + b = 1 (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

-a - 8 - 2a = 1

<=> -3a = 9

<=> a = -3

=> b = 1 + (-3) = -2

Vậy a = -3; b = -2

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
P(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d=ax3+g(x) với g(x)=bx2+cx+d
Ta có:0≤G(8)≤8.82+8.8+8=5840≤G(8)≤8.82+8.8+8=584

1995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+5841995=P(8)=a.83+G(8)≤a.83+584

a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3a.83+584≥1995⇒a≥1995−58483≈2,75⇒a≥3

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì P(8)≥4.83=2048>1995P(8)≥4.83=2048>1995 => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

P(x)=3x3+bx2+cx+dP(x)=3x3+bx2+cx+d

1995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=4951995=P(8)=3.83+G(8)⇒G(8)=495

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7495=G(8)=b.82+c.8+d≤a.82+8.8+8⇒b≥6,6⇒b≥7

Nếu b = 8 thì G(8)≥8.82=512>495G(8)≥8.82=512>495 => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

P(x)=3x3+7x2+cx+dP(x)=3x3+7x2+cx+d

1995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=111995=P(8)=3.83+7.82+8c+d⇒8c+d=11

Nếu c ≥ 2 thì 8c+d≥8.2=16>118c+d≥8.2=16>11 => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì 8.1+d=11⇒d=38.1+d=11⇒d=3
Đa thức P(x)=3x3+7x2+x+3P(x)=3x3+7x2+x+3
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: P(x)=3x3+7x2+x+3

Tham khảo ?

Không ai có thời gian mà nhắc nhiều lần đâu!!

Câu hỏi của Ngân Hoàng Xuân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

http://h.vn/hoi-dap/question/63462.html

+ Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 4 => P(8) ≥ 8⁴ = 4096 > 1995  => P(x) có bậc bé hơn hoặc bằng 3
+Nếu P(x) có bậc 2 hoặc 1 => P(8) ≤ 8.8² + 8.8 + 8 = 584 < 1995 => P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 3

Từ 2 điều trên => P(x) có bậc 3
\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+g\left(x\right)\text{ với }g\left(x\right)=bx^2+cx+d\)
Ta có:\(0\le G\left(8\right)\le8.8^2+8.8+8=584\)

\(1995=P\left(8\right)=a.8^3+G\left(8\right)\le a.8^3+584\)

\(a.8^3+584\ge1995\Rightarrow a\ge\frac{1995-584}{8^3}\approx2,75\Rightarrow a\ge3\)

Mặt khác nếu a ≥ 4 thì \(P\left(8\right)\ge4.8^3=2048>1995\) => loại => a < 4

a ≥ 3 mà a < 4 => a = 3 

\(P\left(x\right)=3x^3+bx^2+cx+d\)

\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+G\left(8\right)\Rightarrow G\left(8\right)=495\)

Ta tiếp tục đánh giá tương tự như trên với b, c, d (b ≥ n và b < n+1 => b = n)

\(\)\(495=G\left(8\right)=b.8^2+c.8+d\le a.8^2+8.8+8\Rightarrow b\ge6,6\Rightarrow b\ge7\)

Nếu b = 8 thì \(G\left(8\right)\ge8.8^2=512>495\) => vô lí => b < 8

Từ 2 điều trên suy ra b = 7.

\(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+cx+d\)

\(1995=P\left(8\right)=3.8^3+7.8^2+8c+d\Rightarrow8c+d=11\)

Nếu c ≥ 2 thì \(8c+d\ge8.2=16>11\) => vô lí => c > 2 => c = 1 hoặc c = 0

+c = 1 thì \(8.1+d=11\Rightarrow d=3\)
Đa thức \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)
+c = 0 thì 8.0 + d =11 => d = 11 > 8 (loại)

Kết luận: \(P\left(x\right)=3x^3+7x^2+x+3\)

Thử lại thấy đúng