A²=2012²+2012²2013²+2013²

A²=(2013-1)²+2013²+2012²2013²

A²=2.2013²-2.2013+1+2012²2013²

A²=2012²2013²+2.2013(2013-1)+1

A²=(2012.2013+1)² \(\Rightarrow\)A=2012.2013+1 la so tu nhien

Đặt t= 2012

Thay vào ta được :\(\sqrt{t^2+t^2\left(t+1\right)^2+\left(t+1\right)^2}=\sqrt{t^2+t^4+2t^3+t^2+t^2+2t+1}\)

                            =\(\sqrt{t^4+t^2+1+2\left(t^3+t^2+t\right)}=\sqrt{\left(t^2+t+1\right)^2}=t^2+t+1\)

                            = \(2012^2+2012+1\)là số tự nhiên (đpcm)

\(A=\sqrt{2012^2+2012^2.2013^2+2013^2}\)

     \(=\sqrt{2012^2+\left(2012.2013\right)^2+2013^2}\)

       \(=2012+2012.2013+2013\)

Vậy A là một số tự nhiên

P/s: Mình nghĩ thế, không chắc!

\(A=\sqrt{2012^2+2012^2.2013^2+2013^2}\)

\(=\sqrt{\left(2013-1\right)^2+2012^2.2013^2+2013^2}\)

\(=\sqrt{2.2013^2-2.2013+1+2012^2.2013^2}\)

\(=\sqrt{2.2013.\left(2013-1\right)+1+2012^2.2013^2}\)

\(=\sqrt{2012^2.2013^2+2.2013.2012+1}=\sqrt{\left(2012.2013+1\right)^2}=2012.2013+1\)

Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)

\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)

Ta có : 2n là số chẵn

\(2012^{2013}\) là số chẵn

\(2013^{2012}\) là số lẻ

\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ

Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ

=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )

\(A^2=2012^2+2012^2.2013^2+2013^2\)

\(A^2=\left(2013-1\right)^2+2013^2+2012^2.2013^2\)

\(A^2=2.2013^2-2.2013+1+2012^2.2013^2\)

\(A^2=2012^2.2013^2+2.2013.\left(2013-1\right)+1\)

\(A^2=\left(2012.2013+1\right)^2\Rightarrow A=2012.2013+1\) là số tự nhiên

\(A^2=2012^2+2012^2.2013^2+2013^2\)

\(A^2=\left(2013-1\right)^2+2013^2+2012^2.2013^2\)

\(A^2=2.1013^2-2.2013+1+2012^2.2013^2\)

\(A^2=2012^2.2013^2+2.2013\left(2013-1\right)+1\)

\(A^2=\left(2012.2013+1\right)^2\)

\(\Rightarrow A=2012.2013+1\) là số tự nhiên

Nếu n=2k (k thuộc N) thì n+5=2k+5 chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 (k thuộc N) thì n+4 =2k+5 chia hết cho 2

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu a 

Nếu n=2k thì n+4 = 2k+4 chia hết cho 2 => (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 thì n+5=2k+5+1=2k+6 chia hết cho 2=> (n+4)(n+5) chia hết cho hai

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu b

Ta có n+2012 và n+2013 là hai số tự nhiên liên tiếp

Gọi ƯCLN(n+2012; n+2013)=d

Vì ƯCLN(n+2012;n+2013)=d 

=> n+2012 chia hết cho d, n+2013 chia hết cho d

Mà n+2013-n+2012=1=> d=1

Vậy n+2012 và n+2013 là 2 số nguyên tố cùng nhau

TH1: n = 2k (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 2012²⁰¹³) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (1)

TH2: n = 2k + 1 (k thuộc N):

Ta có: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) = (2k + 1 + 2012²⁰¹³)(2k  + 1 + 2013²⁰¹²).

Vì: (2k + 1 + 2013²⁰¹²) là số chẵn nên suy ra: (2k + 2012²⁰¹³)(2k + 2013²⁰¹²) ⋮ 2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (n + 2012²⁰¹³)(n + 2013²⁰¹²) ⋮ 2.