Đặt \(\hept{\begin{cases}A=3^{3m^2+6n-61}+4\\t=3m^2+6n-61\end{cases}}\)

Ta có t chia cho 3 dư 2 nên t = 3k + 2

\(A=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(9.27^k\)chia cho 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\) chia hết cho 13

Vậy A = 13

=> k = 0 => t = 2

=> 3m² + 6n - 61 = 2

<=> m² + 2n = 21

Ta nhận xét là m² là bình phương của số lẻ nhỏ hơn 21

=> m² = (1, 9)

=> m = (1; 3)

=> n = (10; 6)

Ta có: \(3m^2+6n-61\)chia cho 3 dư 2 nên ta đặt

\(3m^2+6n-61=3k+2\)

\(\Rightarrow A=3^{3m^2+6n-61}+4=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(27^k\)chia 13 dư 1

\(\Rightarrow9.27^k\)chia 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\)chia hết cho 13 hay A chia hết cho 13

Mà A là số nguyên tố nên A = 13

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow3m^2+6n-61=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\left(1\right)\)

Từ (2) ta có được m² phải là số lẻ và nhỏ hơn 21

\(\Rightarrow m^2=\orbr{\begin{cases}1\\9\end{cases}\Rightarrow m=\orbr{\begin{cases}1\\3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n=\orbr{\begin{cases}10\\6\end{cases}}\)

Vậy giá trị \(\left(m,n\right)=\left(1,10;3,6\right)\)

la toi

hello

Lời giải:

$A=n^4+3n^3+3n^2=n^2(n^2+3n+3)$

Để $A$ là scp thì $n^2+3n+3$ là scp.

Đặt $n^2+3n+3=x^2$ với $x$ tự nhiên.

$\Rightarrow 4n^2+12n+12=4x^2$

$\Rightarrow (2n+3)^2+3=4x^2$

$\Rightarrow 3=(2x)^2-(2n+3)^2=(2x-2n-3)(2x+2n+3)$

Đến đây là dạng PT tích cơ bản rồi. Bạn có thể tự xét TH để giải.