Đặt \(\hept{\begin{cases}A=3^{3m^2+6n-61}+4\\t=3m^2+6n-61\end{cases}}\)

Ta có t chia cho 3 dư 2 nên t = 3k + 2

\(A=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(9.27^k\)chia cho 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\) chia hết cho 13

Vậy A = 13

=> k = 0 => t = 2

=> 3m² + 6n - 61 = 2

<=> m² + 2n = 21

Ta nhận xét là m² là bình phương của số lẻ nhỏ hơn 21

=> m² = (1, 9)

=> m = (1; 3)

=> n = (10; 6)

Ta có: \(3m^2+6n-61\)chia cho 3 dư 2 nên ta đặt

\(3m^2+6n-61=3k+2\)

\(\Rightarrow A=3^{3m^2+6n-61}+4=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(27^k\)chia 13 dư 1

\(\Rightarrow9.27^k\)chia 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\)chia hết cho 13 hay A chia hết cho 13

Mà A là số nguyên tố nên A = 13

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow3m^2+6n-61=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\left(1\right)\)

Từ (2) ta có được m² phải là số lẻ và nhỏ hơn 21

\(\Rightarrow m^2=\orbr{\begin{cases}1\\9\end{cases}\Rightarrow m=\orbr{\begin{cases}1\\3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n=\orbr{\begin{cases}10\\6\end{cases}}\)

Vậy giá trị \(\left(m,n\right)=\left(1,10;3,6\right)\)

la toi

gọi 2 số đó là a; a + 2 (a thuộc N; a chẵn)

có a^2 - (a + 2)^2 = 68

=> a^2 - a^2 - 4a - 4 = 68

=> -4a - 4 = 68

=> -4a = 72

=> a = 18

=> a + 2 = 20

\(A=n^4+2n^3+2n^2+n+7\)

\(\Rightarrow A=n^4+2n^3+n^2+n^2+n+7\)

\(\Rightarrow A=\left(n^2+n\right)^2+n^2+n+\dfrac{1}{4}+\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow A=\left(n^2+n\right)^2+\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow A>\left(n^2+n\right)^2\left(1\right)\)

Ta lại có :

\(\left(n^2+n+1\right)^2-A\)

\(=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n-n^4-2n^3-2n^2-n-7\)

\(=n^2+n-6\)

Để \(n^2+n-6>0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n< -3\\n>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)^2>A\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left(n^2+n\right)^2< A< \left(n^2+n+1\right)^2\)

Nên A không phải là số chính phương

Xét \(-3\le n\le2\)

Để A là số chính phương

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}\)

Thay các giá trị n vào A ta thấy với \(n=-3;n=2\) ta đều được \(A=49\) là số chính phương

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-3\\n=2\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

Đặt \(n^2-14n-256=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-14n+49\right)-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7+a\right)\left(n-7-a\right)=305=5\cdot61\)

Đến đây làm nốt đi.

Đặt \(G=n^2-14n-256=a^2\)(là số chính phương)

\(\Leftrightarrow n^2-14n+49-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n+a-7\right)\left(n-a-7\right)=305=5.61\)

Mà \(n+a-7\ge n-a-7\)nên \(\hept{\begin{cases}n+a-7=61\\n-a-7=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n+a=68\\n-a=12\end{cases}}\Leftrightarrow n=\frac{68+12}{2}=40\)

Vậy n = 40 thì \(G=n^2-14n-256\)là số chính phương

AI KẾT BN KO!

TIỆN THỂ TK MÌNH LUÔN NHA!

KONOSUBA!!!

AI TK MÌNH MÌNH TK LẠI 3 LẦN.

kết bạn ko

-Vì \(n+1,n+13\) là các số chính phương nên đặt \(n+1=a^2,n+13=b^2\)

\(\Rightarrow b^2-a^2=n+13-\left(n+1\right)=12\)

\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=12=\left[{}\begin{matrix}1.12\\2.6\\3.4\end{matrix}\right.\)

-Vì \(b-a< b+a\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b-a=1;b+a=12\\b-a=2;b+a=6\\b-a=3;b+a=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\dfrac{13}{2};a=\dfrac{11}{2}\left(loại\right)\\b=4;a=2\left(nhận\right)\\b=\dfrac{7}{2};a=\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

-Vậy \(n=3\) thì n+1 và n+12 đều là các số chính phương.