a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b

suy ra cả m,n,p đều bằng -abc

a +b +c = 0 => a + b = -c ; a +c = -b ; b+c = -a

thay vào M ta có

M = a . -c . -b = abc (1)

Thay tương tự vào N , P ta cũng đc N =abc (2)

                                                     P =abc( 3)

Từ 1 2 và 3 => ĐPCM 

Vậy .....

Vì \(a+b+c=0\)

Theo đề bài có : \(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\) (1)

    \(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\)    (2)

    \(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\)(3)

Từ (1) ;(2) và (3)

\(\Rightarrow M=N=P\) (đpcm)

ta có: a + b + c = 0

=> a + b = -c ; a + c = -b ; b + c = -a

=> M = a(a + b)(a + c) = a(-c)(-b)= abc

     N = b(b + c)(b + a) = b(-a)(-c)= abc

     P = c(c + b)(c + a) = c(-a)(-b)= abc

=> M = N = P

ok nha!!! 5645657567896965345645656756768762345335345435344456

Theo đề bài ta có : a + b + c = 0 

=> a + b = 0 - c 

=> a + c = 0 - b 

=> b + a = 0 - c 

=> b + c = 0 - a 

=> c + a = 0 - b 

=> c + b = 0 - a 

Thay vào biểu thức trên ta có : 

M= a(a+b)(a+c) = a ( 0 - c ) ( 0 - b ) = tự làm típ rùi = 0 - 0 + abc = abc 

Tương tự  N= b(b+c)(b+a) = 

P=c(c+b)(c+a) = 

Rùi kết luận nha 

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)

Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương

Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

à thôi sorry. Ko cần nữa đâu

Yahoo đầy

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng theo 2 vế bất đẳng thức ta có:

\(M>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất \(\left(a;b>1\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) , ta có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo 2 vế bất đẳng thức ta có:

\(M>\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(1< M< 2\)

\(\Rightarrow M\) không là số nguyên.

cảm ơn bn nha