Xét n=1 thì biểu thức A = 3

Xét n>1:

Ta có: \(A=n^{2015}+n+1\)

\(=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Dễ nhận ra \(n^{2013}-1⋮n^3-1\Rightarrow n^{2013}-1=k\left(n^3-1\right)=k\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow n^2\left(n^{2013}-1\right)=k\left(n-1\right)n^2\left(n^2+n+1\right)=k'\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=k'\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(n^2+n+1\right)\left(k'+1\right)\)là hợp số

Vậy n=1

 n không thể là số lẻ vì lúc đó ít nhất 6 số chẵn > 2 nên không thể là số nguyên tố. Dễ thấy với n = 2 số n + 7 = 9 là hợp số (tất nhiên không chỉ số đó nhưng ta không cần gì hơn), với n = 4 số n + 5 = 9 là hợp số. Với n = 6 dễ thấy cả 7 số đều là số nguyên tố. 
Dễ thấy là trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7. Thật thế 7 số đã cho khi chia cho 7 có cùng số dư với 7 số n+1, n+5, n+7, n+6, n+3, n+4, n+2 mà trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7. 
=> với n ≥ 8 trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7 và > 7 nên là hợp số. 
=> số duy nhất thỏa mãn là n = 6

 n không thể là số lẻ vì lúc đó ít nhất 6 số chẵn > 2 nên không thể là số nguyên tố. Dễ thấy với n = 2 số n + 7 = 9 là hợp số (tất nhiên không chỉ số đó nhưng ta không cần gì hơn), với n = 4 số n + 5 = 9 là hợp số. Với n = 6 dễ thấy cả 7 số đều là số nguyên tố. 
Dễ thấy là trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7. Thật thế 7 số đã cho khi chia cho 7 có cùng số dư với 7 số n+1, n+5, n+7, n+6, n+3, n+4, n+2 mà trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7. 
=> với n ≥ 8 trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7 và > 7 nên là hợp số. 
=> số duy nhất thỏa mãn là n = 6

**** mik nha

n+1;n+5;n+7;n+13;n+17;n+25;n+37.

cách làm:

n+7=n+7.1

n+1=(n+1)+7.0

n+37=(n+2)+7.5

n+17=(n+3)+7.2

n+25=(n+40)+7.3

n+5=(n+5)+7.0

n+13=(n+6)+7.1

các số khi chia cho 7 sẽ có 7 số dư khác nhau

==>trong các số trên có ít nhất 1 số chia hết cho 7

các số ,n+7,n+13,n+17,n+25,n+37 đều lớn hơn 7 néu chúng chia hết cho 7 thì đó là các hợp số ==> loại

==>n+1 hoặc n+5 chia hết cho 7

+trường hợp 1

n+1=7==>n=6,khi đó các số đều là SNT 

trường hợp 2

n+5=7==>n=2 khi đó n+7=9 không phải là SNT nên loại vậy n=6

 Bạn ơi, nếu như vậy thì thầy mình sẽ bắt mình chứng minh là chỉ có 2 số 3 với 5 là 2 số có dạng \(2^n-1\) với \(2^n+1\) đó bạn. Nếu bạn không phiền thì chứng minh giúp mình với nhé. Mình cảm ơn bạn trước.

$n$ không thể là số lẻ vì khi đó có ít nhất $6$ số chẵn $>2$ nên không thể là số nguyên tố. Dễ thấy với $n=2$ số $n+7=9$ là hợp số (tất nhiên không chỉ số đó nhưng ta không cần gì hơn), với $n=4$ số $n+5=9$ là hợp số. Với $n=6$ dễ thấy cả $7$ số đều là số nguyên tố.
Dễ thấy là trong $7$ số đã cho có $1$ số chia hết cho $7$. Thật thế $7$ số đã cho khi chia cho $7$ có cùng số dư với $7$ số $n+1,n+5,n+7,n+6,n+3,n+4,n+2$ mà trong $7$ số tự nhiên liên tiếp có $1$ số chia hết cho $7$.
$\Rightarrow$ Với $n\ge 8$ trong $7$ số đã cho có $1$ số chia hết cho $7$ và $>7$ nên là hợp số.
$\Rightarrow$ Số duy nhất thỏa mãn là $n=6$ 

Xem thêm tại đây nhé bạn : Tìm số n nguyên dương sao cho tất cả các số n+1;n+5;n+7;n+13;n+17;n+25;n+37 đều là số nguyên tố - Số học - Diễn đàn Toán học

Ta thấy: n phải là số chẵn vì trong dãy có phần dư của n là số lẻ (nếu là số lẻ thì các số trên chẵn ra hợp số)

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên n = 2

Thay n = 2, ta có: n + 7 = 2 + 7 = 9 (loại vì là hợp số)

+) Với n = 4

Ta có: n + 5 = 4 + 5 = 9 (loại vì là hợp số)

+) Với n = 6

Với n = 6 thì tất cả các số trên đều là số nguyên tố (tm)

Theo nguyên lí Dirichle thì trong một phép chia cho 7 thì có nhiều nhất 6 số dư

Vậy ta dễ chứng minh để loại hết các số lớn hơn 6

Vậy n = 6 là nghiệm duy nhất cần tìm.

Đặt \(p^n+144=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

Ta thấy : \(a-12+a+12=2a⋮2\)

\(\Rightarrow\left(a-12\right)\left(a+12\right)⋮2\)

\(\Rightarrow p^n⋮2\) mà $p$ nguyên tố \(\Rightarrow p=2\)

Khi đó ta có : \(2^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^x=a-12\\2^y=a+12\end{matrix}\right.\) với $x+y=a; x,y \in N$,  \(y>x\)

\(\Rightarrow2^y-2^x=24\Rightarrow2^x\left(2^{y-x}-1\right)=24\)

Rồi bạn xét các TH để tìm ra giá trị đề bài nhé! Đến đây dễ rồi.