ĐK: \(-x^2+2x+\frac{1}{2}-m\ge0\)

\(pt\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-2m-\frac{1}{2}>-x^2+2x+\frac{1}{2}-m\\4x-2m-\frac{1}{2}< x^2-2x-\frac{1}{2}+m\end{matrix}\right.\)

Xét từng bpt một nhé:

\(x^2+2x-1-m>0\) (1)

Để (1) đúng với mọi x thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow1+1+m< 0\Leftrightarrow m< -2\)

\(x^2-6x+3m>0\) (2)

Để (2) đúng với mọi x thì \(\Delta< 0\Leftrightarrow9-3m< 0\Leftrightarrow m>3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< -2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=\left(-2019;-2\right)\cup\left(3;2019\right)\)

Tự đếm xem có bao nhiêu phần tử nha cậu :))

Hàm số $y=\sqrt{x-m+2}+\sqrt{x-2m+3}$ xác định khi và chỉ khi
\[\left\{\begin{aligned}&x-m+2\geq 0 \\&x-2m+3\geq 
0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\geq m-2 
\\&x\geq 2m-3.\end{aligned}\right. \tag{$*$}\]

• Khi $m-2\geq 2m-3$ hay $m\leq 1$ thì $(*)$ tương đương $x\geq m-2$. Do đó tập xác định của hàm số đã cho là $[m-2;+\infty)$.
  Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
  \[(0;+\infty)\subset [m-2;+\infty) \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m\leq 1 \\&m-2\leq 0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m\leq 1 \\&m\leq 2\end{aligned}\right. \Leftrightarrow m\leq 1.\]
• Khi $m-2< 2m-3$ hay $m> 1$ thì $(*)$ tương đương $x\geq 2m-3$. Do đó tập xác định của hàm số đã cho là $[2m-3;+\infty)$.
  Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
  \[(0;+\infty)\subset [2m-3;+\infty) \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m>1 \\&2m-3\leq 0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m> 1 \\&m\leq \dfrac{3}{2}\end{aligned}\right. \Leftrightarrow 1<m\leq \dfrac{3}{2}.\]

Kết hợp hai trường hợp trên, ta được $m\leq \dfrac{3}{2}$ là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(7.\) Xét mẫu thức \(\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\), ta có:

\(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1>0\Rightarrow\) Luôn đúng với mọi giá trị \(x\)

\(x^2+4x+5\\ hayx^2+4x+4+1=\left(x+2\right)^2+1\\ \left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1>0\)

\(\Rightarrow\) Luôn đúng với mọi giá trị \(x\)

Vậy biểu thức \(\frac{x^2-4}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)}+\frac{3}{2}x\) luôn xác định với mọi giá trị \(x\)