a) \(6xy+4x-9y-7=0\)

  \(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)

Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)

Tự làm típ

\(A=x^3+y^3+xy\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Nhầm, là (18,6); (8,7); (3,9); (2,10); (0,15)

xy-5x+2y=30  <=> 2y-30=5x-xy

<=> 2y-30=x(5-y)  => \(x=\frac{2y-30}{5-y}=-\frac{2y-30}{y-5}=-\frac{2y-10-20}{y-5}=-\frac{2\left(y-5\right)-20}{y-5}\)

=> \(x=-2+\frac{20}{y-5}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=xy+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=y\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x^2-x+1}{x+2}=2x-5+\dfrac{11}{x+2}\)

Do y nguyên \(\Rightarrow\dfrac{11}{x+2}\) nguyên \(\Rightarrow x+2=Ư\left(11\right)\)

Mà x nguyên dương \(\Rightarrow x+2\ge3\Rightarrow x+2=11\Rightarrow x=9\)

\(\Rightarrow y=14\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(9;14\right)\)

Ta có \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\)

Mà x và y là số nguyên dương

 \(\Rightarrow\frac{y}{2xy}+\frac{x}{2xy}+\frac{2}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{y+x+2}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2.\left(x+y+2\right)=2xy\)

\(\Rightarrow2xy=2x+2y+4\)

\(\Rightarrow2xy-2x-2y=4\)

\(\Rightarrow2x.\left(y-1\right)-2.\left(y-1\right)=4+2\)

\(\Rightarrow\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=6\)

Vì x và y là số nguyên dương 

\(\Rightarrow x\ge1\)và \(y\ge1\)

\(\Rightarrow2x-2\ge0\)và \(y-1\ge0\)

Vì x là số nguyên dương => 2x chẵn do đó 2x - 2 chẵn (vì 2 chẵn)

Phân tích 6 thành tích 2 số tự nhiên: \(6=2.3=6.1\)

+) Nếu \(\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=2.3\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-2=2\\y-1=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=4\\y=4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Thử lại:

Với \(x=2\), \(y=4\)ta có: \(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{2.4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)(chọn)

+) Nếu \(\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=6.1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-2=6\\y-1=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=8\\y=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\)

Thử lại: 

Với \(x=4\), \(y=2\)ta có: \(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{2.2}+\frac{1}{4.2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)(chọn)

Vậy \(x=2\), \(y=4\);

       \(x=4\), \(y=2\).

BẠN THAM KHẢO QUA NHÉ! CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)

Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài

hình như dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1/x^2 với x^2 = y^2/4 mà bạn nhỉ