\(\left|\vec{AD}+\vec{AB}\right|=\left|\vec{AC}\right|=AC=a\sqrt{2}\)

Han Nguyen

Quy tắc hình bình hành mà em, sau đó dùng Pitago nữa là ra đường chéo.

Hoặc như này dễ hiểu hơn:

\(\left|\vec{AD}+\vec{AB}\right|=\left|\vec{AD}+\vec{DC}\right|=\left|\vec{AC}\right|=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow\Delta ABD\&\Delta ACD\) là tam vuông cân

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|.\sqrt[]{2}\\\left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\sqrt[]{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.\sqrt[]{2}=1\\\left|\overrightarrow{BD}\right|=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}.\sqrt[]{2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{AO}\right|=\dfrac{1}{2}.\left|\overrightarrow{AC}\right|\)  (O là trung điểm AC)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{AO}\right|=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = 1\)

\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1\)

A. Ta có: \(\overrightarrow a  = (1;1) \Rightarrow \;|\overrightarrow a |\; = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2  \ne 1\). (Loại)

B. Ta có: \(\overrightarrow b  = (1; - 1) \Rightarrow \;|\overrightarrow b |\; = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt 2  \ne 1\). (Loại)

C. Ta có: \(\overrightarrow c  = \left( {2;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \;|\overrightarrow c |\; = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {17} }}{2} \ne 1\). (Loại)

D. Ta có: \(\overrightarrow d  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow \;|\overrightarrow a |\; = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = 1\). (Thỏa mãn yc)

Chọn D

Chọn B

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=BD=a\sqrt{6}\)

a) Ta có:

\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {10} \)

+) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10} \)

+) \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10} \)

b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:

\(AO = OC = BO = OD = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng

Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\) là:

\(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \); \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {CO} \); \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \); \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \)