Lời giải:

$-\frac{4}{5}=\cos 2x=2\cos ^2x-1$

$\Leftrightarrow \cos ^2x=\frac{1}{10}$

Vì $x\in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ nên $\cos x>0$

$\Rightarrow \cos x=\sqrt{\frac{1}{10}}$

$\sin^2x=1-\cos ^2x=\frac{9}{10}$
Vì $x\in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$ nên $\sin x>0$

$\Rightarrow \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}$

$\sin (x+\frac{\pi}{3})=\sin x\cos \frac{\pi}{3}+\cos x\sin \frac{\pi}{3}$

$=\sqrt{\frac{9}{10}}.\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{30}+3\sqrt{10}}{20}$

cam on Akai Haruma

a)     y = sinx

-        Khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\)

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - 4\pi } \right)\)

+ Nghịch biến trên khoảng; \(\left( { - 4\pi ; - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\)

-        Khoảng \(\left( {\frac{{21\pi }}{2};\frac{{23\pi }}{2}} \right)\)

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng: \(\left( {11\pi ;\frac{{23\pi }}{2}} \right)\)

+ Nghịch biến trên khoảng: \(\left( {\frac{{21\pi }}{2};11\pi } \right)\)

Trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\right)\) chọn 2 giá trị của x (x₁ và x₂) sao cho x₁ > x₂

Xét f(x₁) - f(x₂) = sinx₁ - sinx₂

 = 2cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) . sin \(\dfrac{x_1-x_2}{2}\)

Do \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

⇒ cos\(\dfrac{x_1+x_2}{2}\) > 0 

Mà \(sin\dfrac{x_1-x_2}{2}\) > 0 

nên f(x₁) - f(x₂) > 0 

Vậy đồng biến

Nghịch biến tương tự

tại sao \(\dfrac{x_1+x_2}{2}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)ạ ?

\(A=cosa\left(sinb.cosc-cosb.sinc\right)+cosb\left(sinc.cosa-cosc.sina\right)+cosc\left(sinacosb-cosasinb\right)\)

\(A=cosasinbcosc-cosacosbsinc+cosacosbsinc-sinacosbcosc+sinacosbcosc-cosasinbcosc\)

\(A=0\)

\(B=sin^2x+\frac{1}{2}\left(cos\frac{2\pi}{3}+cos2x\right)\)

\(B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x\)

\(B=\frac{1}{4}\)

\(C=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(\frac{4\pi}{3}+2x\right)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos\left(\frac{4\pi}{3}-2x\right)\)

\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}\left(cos\left(\frac{4\pi}{3}+2x\right)+cos\left(\frac{4\pi}{3}-2x\right)\right)\)

\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x-cos\frac{4\pi}{3}.cos2x\)

\(C=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x\)

\(C=\frac{3}{2}\)

\(D=\frac{1}{2}\left[\sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right]^2-sin^2x-sinx.\sqrt{2}cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\)

\(D=\frac{1}{2}\left(sinx+cosx\right)^2-sin^2x-sinx\left(sinx-cosx\right)\)

\(D=\frac{1}{2}\left(1+2sinx.cosx\right)-sin^2x-sin^2x+sinx.cosx\)

\(D=\frac{1}{2}+sinxcosx+sinxcosx=\frac{1}{2}+sin2x\)

Góc độ cao của thang dựa vào tường là 60º và chân thang cách tường 4,6 m. Chiều dài của thang là

a.

\(y'=\dfrac{3}{cos^2\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)}-\dfrac{2}{sin^2\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)}-sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

b.

\(y'=\dfrac{\dfrac{\left(2x+1\right)cosx}{2\sqrt{sinx+2}}-2\sqrt{sinx+2}}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{\left(2x+1\right)cosx-4\left(sinx+2\right)}{\left(2x+1\right)^2}\)

c.

\(y'=-3sin\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)-2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\)