+) Trong ba số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 3. Vì \(p,p+2\) là các số nguyên tố lớn hơn 3, suy ra \(p+1\)  chia hết cho 3. Vậy \(p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)\vdots3.\)

+) Vì \(p,p+2\) là các số nguyên tố lẻ nên chia cho 4 chỉ có thể dư là 1 hoặc 3.

Nếu \(p=4k+1\to p+2=4k+3\to p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)=4\left(2k+1\right)\vdots4.\)

Nếu \(p=4k+3\to p+2=4k+5\to p+\left(p+2\right)=2\left(p+1\right)=4\left(k+2\right)\vdots4.\)

Vậy tổng \(p+\left(p+2\right)\)  vừa chia hết cho \(3\) vừa chia hết cho \(4\), nên chia hết cho \(12\).

+ Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
- giả sử p + p + 2 không chia hết cho 12 <> p + 1 không chia hết cho 6
<> p = 6n hoạc p = 6n + 1 .... hoạc p = 6n + 4
- với p = 6n ( n >= 1) => p là hợp số mâu thuẫn
- với p = 6n + 1 ( n >= 1) => p + 2 = 6n + 3 = 3(2n + 1) là hợp số => mâu thuẫn
- ....
- với p = 6n + 4 ( n>= 0) => p cũng là hợp số
Vậy p + 1 phải chia hết cho 6 hay p + p + 2 phải chia hết cho 12

b/Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet) 

Ta có: p+(p+2)=2(p+1)

Vì p lẻ nên  ( p + 1 ) ⋮ 2 = > 2 ( p + 1 ) ⋮ 4 (1)

Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên  ( p + 1 ) ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra   p + ( p + 2 ) ⋮ 12 (đpcm)

p > 3 

=> Đặt p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1 

=> p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) 

=> p + 2 là hợp số (lọai) 

Khi p = 3k + 2

=> p + 2 = 3k + 4 (tm) 

=> p + p + 2 = 3k + 2 + 3k + 4 = 6k + 6 = 6(k + 1)

Khi k = 2t => 3k + 2 = 3.2t + 2 = 2(3t + 1) 

=> 3k + 2 là họp số loại

Khi k = 2t + 1 

=> 3k + 2 = 6t + 5 (tm)

3k + 4 = 6t + 7 (tm) 

Khi đó p + p + 2 = 6(k + 1) = 6(2t + 1 + 1) = 6(2t + 2) = 12(t + 1) \(⋮\)12