Để thỏa mãn đề bài thì 7n+13 phải chia hết cho n+1 và 3n+1

Trước hết ta xét:\(7n+13⋮n+1\Rightarrow\left(7n+7\right)+6⋮n+1\Rightarrow7\left(n+1\right)+6⋮n+1\Rightarrow6⋮n+1\)

Mà \(n\inℕ^∗\Rightarrow n+1\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow n+1\in\left\{2;3;6\right\}\Rightarrow n\in\left\{1;2;5\right\}\)

Lần lượt thay các giá trị của n vào 7n+13 và 3n+1 xem 7n+13 có chia hết cho 3n+1 không

Sau khi thử thì còn các giá trị n là 1;5 thỏa mãn

Vậy n=1 hoặc n=5

Để 7n +13 là mẫu số chung của \(\frac{n}{n+1}và\frac{3}{3n+1}\) thì 7n+13 phải chia hết cho n+1 và 3n+1

*Xét 7n+13\(⋮\)n+1(1)

+)Ta có:n+1\(⋮\)n+1

=>7.(n+1)\(⋮\)n+1

=>7n+7\(⋮\)n+1(2)

+)Từ (1) và (2)

=>(7n+13)-(7n+7)\(⋮\)n+1

=>7n+13-7n-7\(⋮\)n+1

=>6\(⋮\)n+1

=>n+1\(\in\)Ư(6)={\(\pm\)1;\(\pm\)2;\(\pm\)3}

=>n\(\in\){-2\(\notin\)N*;0\(\notin\)N*;-3\(\notin\)N*;1\(\in\)N*;-4\(\notin\)N*;2\(\in\)N*}

=>n\(\in\){1;2}(*)

*Xét 7n+13\(⋮\)3n+1

      =>3.(7n+13)\(⋮\)3n+1

      =>21n+39\(⋮\)3n+1(3)

+)Ta có:3n+1\(⋮\)3n+1

        =>7.(3n+1)\(⋮\)3n+1

        =>21n+7\(⋮\)3n+1(4)

+)Từ (3) và (4)

=>(21n+39)-(21n+7)\(⋮\)3n+1

=>21n+39-21n-7\(⋮\)3n+1

=>32\(⋮\)3n+1

=>3n+1\(\in\)Ư(32)={\(\pm\)1;\(\pm\)2;\(\pm\)4;\(\pm\)8;\(\pm\)16;\(\pm\)32}

+)Ta có bảng:

=>n\(\in\){1;5}(**)

+)Từ (*) và (**)

=>n=1

Vậy n=1

Chúc bn học tốt