a)Hoành độ giao điểm của (P)và (d) là:

        \(\frac{1}{2}x^2=x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2=2x+8\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right).\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=4\end{cases}}}\)

Thay \(x=-2\)vào (d) ta được:

     \(y=-2+4=2\)

Thay \(x=4\)vào (d)ta được:

    \(y=4+4=8\)

Vậy \(A\left(-2;2\right),B\left(4;8\right)\)hoặc \(A\left(4;8\right),B\left(-2;2\right)\)

b)Mk ko bt làm

PTHĐGĐ là:

x^2-2x-3=0

=>x=3 hoặc x=-1

=>A(3;9); B(-1;1)

d(A;Ox)=AD

=>D(3;0)

C là hình chiếu của B lên trục Ox nên C(-1;0)

=>ABCD là hình thang vuông

AD=9; BC=1; OD=3; OC=1

=>S ABCD=(9+1)*(3+1):2=20

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là \(x^2=mx+1\Leftrightarrow x^2-mx-1=0\). (*)

Do ac < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Do I có hoành độ là 0 nên có tung độ là 1. Do đó \(I\left(0;1\right)\).

Dễ thấy \(OI\perp HK\) và OI = 1.

Gọi \(x_1,x_2\) lần lượt là hoành độ của H và K.

Khi đó \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Viét ta có \(x_1x_2=-1\).

Ta có \(OK.OH=\left|x_1\right|.\left|x_2\right|=\left|x_1x_2\right|=1=OI^2\) nên tam giác IKH vuông tại I. (đpcm)

 pt hoành độ giao điểm của \(\left(P\right):y=x^2\) và \(\left(d\right):y=2x+3\) là \(x^2=2x+3\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\).

 Khi \(x=3\) thì \(y=x^2=9\), khi \(x=-1\) thì \(y=x^2=1\). Do đó (P) cắt (d) tại \(A\left(3;9\right)\) và \(B\left(-1;1\right)\). Từ đó dễ dàng suy ra \(C\left(3;0\right)\) và \(D\left(-1;0\right)\). Từ đó suy ra \(CD=4\).

  Lại có \(AC=1;BD=9\). Do đó \(S_{ABCD}=\dfrac{\left(AC+BD\right).CD}{2}=\dfrac{\left(1+9\right).4}{2}=20\) (đơn vị diện tích)

Đáp án D

Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, Oy, Oz nên:  A − 3 ; 0 ; 0 B 0 ; 2 ; 0 C 0 ; 0 ; 4

Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (ABC) 

Đáp án D

Vì A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox, Oy, Oz nên:  A − 3 ; 0 ; 0 B 0 ; 2 ; 0 C 0 ; 0 ; 4

Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (ABC) 

a: 

b: Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi (d1) với trục Ox

(d1): \(y=\dfrac{1}{2}x+2\)

=>\(a=\dfrac{1}{2}\)

=>\(tan\alpha=a=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\alpha\simeq26^034'\)

c: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{1}{2}x+2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ C là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x+2=-x+2\\y=-x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}x=0\\y=-x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-0+2=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(-4;0); B(2;0); C(0;2)

\(AB=\sqrt{\left(2+4\right)^2+\left(0-0\right)^2}=6\)

\(AC=\sqrt{\left(0+4\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{\left(0-2\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}\)(cm)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{36+20-8}{2\cdot6\cdot2\sqrt{5}}=\dfrac{48}{24\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

=>\(sinBAC=\sqrt{1-cos^2BAC}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinBAC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{5}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}=6\)

Đáp án C