a, Vì M là trung điểm AC và BE nên ABCE là hbh

b, Vì ABCE là hbh nên AE//BC;AE=BC(1)

Vì N là trung điểm AB và CF nên ACBF là hbh

Do đó AF//BC;AF=BC(2)

Từ (1)(2) ta được AE trùng AF và AE=AF

Vậy E đx F qua A

a: Xét tứ giác ABCE có 

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BE

Do đó: ABCE là hình bình hành

Gọi giao điểm của MF với AB là K, giao điểm của ME với AC là N

E đối xứng M qua AC

=>AC là đường trung trực của ME

=>AC vuông góc với ME tại trung điểm của ME

=>AC vuông góc với ME tại N và N là trung điểm của ME

M đối xứng với F qua AB

=>AB là đường trung trực của MF

=>AB vuông góc với MF tại trung điểm của MF

mà AB cắt MF tại K

nên AB vuông góc MF tại K và K là trung điểm của MF

Xét ΔAME có

AN là đường trung tuyến

AN là đường cao

Do đó: ΔAME cân tại A

Xét ΔAMF có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAMF cân tại A

ΔAME cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của \(\widehat{EAM}\)

=>\(\widehat{EAM}=2\cdot\widehat{MAC}\)

ΔAMF cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là phân giác của \(\widehat{MAF}\)

=>\(\widehat{FAM}=2\cdot\widehat{BAM}\)

AM=AF

AM=AE

Do đó: AF=AE

\(\widehat{EAM}+\widehat{FAM}=\widehat{EAF}\)

=>\(\widehat{EAF}=2\cdot\widehat{BAM}+2\cdot\widehat{CAM}=2\cdot\left(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}\right)\)

\(=2\cdot90^0=180^0\)

=>E,A,F thẳng hàng

mà AF=AE(cmt)

nên A là trung điểm của EF

=>F đối xứng E qua A

Để chứng minh các phần a, b và c, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và hình chữ nhật.

a. Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí trung tuyến, ta có DE là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, DE song song với cạnh AC. Tương tự, ta có DF song song với cạnh AB. Vậy DE//AC và DF//AB.

b. Ta cần chứng minh AEDF là hình chữ nhật. Đầu tiên, ta thấy DE//AC và DF//AB (theo phần a). Khi đó, ta có:

- AD = DC (vì D là trung điểm của BC)

- AE = EB (vì E là trung điểm của AB)

- AF = FC (vì F là trung điểm của AC)

Vậy ta có các cạnh đối diện của tứ giác AEDF bằng nhau, do đó AEDF là hình chữ nhật.

c. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB. Ta cần chứng minh M đối xứng với N qua A. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh AM = AN và góc MAN = góc NAM.

- Vì M là điểm đối xứng của D qua AB, nên ta có AM = AD.

- Vì N là điểm đối xứng của D qua AC, nên ta có AN = AD.

Do đó, ta có AM = AN.

- Ta có góc MAD = góc DAB (vì M là điểm đối xứng của D qua AB)

- Ta có góc NAD = góc DAC (vì N là điểm đối xứng của D qua AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc DAB = góc DAC. Từ đó, ta có góc MAD = góc NAD.

Vậy ta có AM = AN và góc MAN = góc NAM, do đó M đối xứng với N qua A.

Vậy ta đã chứng minh được M đối xứng với N qua A.

a: Xét tứ giác AEMF có 

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật

đây là hình vẽ nha 

còn bài làm mình trình bày ở dưới

a) EM - đtb của tam giác ABC ( vì EB = EA , BM = MC )

\(\Rightarrow\)EM // AC hay EM // AF ( 1 )

\(EM=\frac{1}{2}AC\)

\(AF=\frac{1}{2}AC\)( gt )

\(\Rightarrow\)EM = AF ( 2 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) suy ra AEMF - hình bình hành

b) EI = EM ( gt )

BE = EA ( gt )

\(\Rightarrow\)AIBM - hình bình hành 

xin lỗi bạn mình không ghi được giả thiết với cả đánh dấu bằng nhau trên hình bạn tự đánh nha 

a) Tứ giác \(AHMK\) có \(\widehat{HAK}=\widehat{MHA}=\widehat{MKA}=90^o\)do đó tứ giác này là hình chữ nhật. 

b) Tứ giác \(AMBE\) là hình thoi do có hai đường chéo vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó \(BM\) song song với \(AE\), \(BM=AE\).

Tương tự \(MC\) song song với \(AF\), \(MC=AF\).

Suy ra \(E,A,F\) thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song) 

và \(AE=AF\).

Do đó \(E\) đối xứng với \(F\) qua \(A\).

c) \(BC=2AM=10\left(cm\right)\).

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

d) Để hình chữ nhật \(AHMK\) là hình vuông thì \(AM\) là đường phân giác của góc \(\widehat{HAK}\).

Khi đó tam giác \(ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

e) Gợi ý: Dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BEFC\) là hình bình hành (từ hai tứ giác \(BEAM,MAFC\) là hình thoi) suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, mà lại có \(AM\) là đường trung bình. Từ đó ta suy ra đpcm. 

Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD

Hay AM // BC và AM = AD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN

Hay AN // BC và AN = AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng

Và AM = AN nên A là trung điểm của MN

Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.