\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=9\)

\(\Rightarrow xy+x+y+1=9\)

\(\Rightarrow xy+x+y=8\)

\(\Rightarrow x+y=8-xy\left(1\right)\)

\(K=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow K=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(8-xy\right)^2-2xy\)

\(\Rightarrow K=64-16xy+\left(xy\right)^2-2xy\)

\(\Rightarrow K=\left(xy\right)^2-18xy+64\)

\(\Rightarrow K=\left(xy\right)^2-18xy+81-17\)

\(\Rightarrow K=\left(xy-9\right)^2-17\ge-17\left(\left(xy-9\right)^2\ge0,\forall x;y\right)\)

\(\Rightarrow GTNN\left(K\right)=-17\)

GTNN (K) = -17

Chọn C.

Phương pháp: 

Đưa biểu thức P về hàm số 1 ẩn x.

Khảo sát, tìm GTNN của hàm số đó.

Cách giải:

Đáp án là D

Đáp án A

P = 1 3 x 3 + x 2 + y 2 − x + 1 = = 1 3 x 3 + x + y 2 − 2 x y − x + 1 = 1 3 x 3 + 4 − 2 x 2 − x − x + 1

⇒ P = 1 3 x 3 + 2 x 2 − 5 x + 5

xét hàm số   P x trên  0 ; 2  ta có 

P ' = x 2 + 4 x − 5 ⇒ P ' = 0 ⇔ x = 1

Ta tính các giá trị  P 0 = 5 ; P 1 = 7 3 ; P 2 = 17 3 ⇒ M i n P = 7 3

\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2-4xy+3\)

\(=\left(16-2xy\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=2x^2y^2-68xy+259\)

\(4=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow0\le xy\le4\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0\le a\le4\)

\(P=2a^2-68a+259=259-2a\left(34-a\right)\le259\)

\(P_{max}=259\) khi \(a=0\) hay \(\left(x;y\right)=\left(4;0\right);\left(0;4\right)\)

\(P=\left(2a^2-68a+240\right)+19=2\left(4-a\right)\left(30-a\right)+19\ge19\)

\(P_{min}=19\) khi \(a=4\) hay \(x=y=2\)

\(x+y=1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

=> \(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)\ge1^2-3\cdot\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)

vậy ...

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)

có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)

từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)

=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2

cảm ơn rất nhiều