tham khảo:

\(a) 2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)2 (1) Đặt Sn=2+5+8+...+(3n−1) Với n=1 ta có: S1=2=1(3.1+1)2 Giả sử (1) đúng với n=k(k≥1), tức là Sk=2+5+8+...+(3k−1)=k(3k+1)2 Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1 hay Sk+1=(k+1)(3k+4)2 Thật vậy ta có: Sk+1=2+5+8+...+(3k−1)+[3(k+1)−1]=Sk+3k+2=k(3k+1)2+3k+2=3k2+k+6k+42=3k2+7k+42=(k+1)(3k+4)2 Vậy (1) đúng với mọi k≥1 hay (1) đúng với mọi n∈N∗ b) 3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) (2) Đặt Sn=3+9+27+...+3n=12(3n+1−3) Với n=1, ta có: S1=3=12(32−3) (hệ thức đúng) Giả sử (2) đúng với n=k(k≥1) tức là Sk=3+9+27+...+3k=12(3k+1−3) Ta chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là chứng minh Sk+1=12(3k+2−3) Thật vậy, ta có: Sk+1=3+9+27+...+3k+1=Sk+3k+1=12(3k+1−3)+3k+1=32.3k+1−32=12(3k+2−3)(đpcm) Vậy (2) đúng với mọi k≥1 hay đúng với mọi n∈N∗\)

Đặt vế trái bằng A n

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có 

Ta có:

a, aⁿ⁺³-aⁿ⁺¹=aⁿ.a(a²-1)=aⁿ(a-1)a(a+1)

Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

=> (a-1)a(a+1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3)=1

=>(a-1)a(a+1) chia hết cho 6

=> aⁿ(a-1)a(a+1) chia hết cho 6 

=>đpcm

b, a³+5a=(a³-a)+6a=a(a²-1)+6a=(a-1)a(a+1)+6a

CM (a-1)a(a+1) chia hết cho 6

      6a chia hết cho 6

=>(a-1)a(a+1)+6a chia hết cho 6

=>đpcm

c, a³+b³+c³-a-b-c=(a³-a)+(b³-b)+(c³-c)

đến đây dễ rồi, tự làm

đâu có chia hết

VD n=1

iểm tra với n = 1

Giả sử đã có 

Viết S k + 1   =   S k   +   sin ( k + 1 ) x sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có