\(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \left( {\overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)\(\)(đpcm)

Ta xét tổng:

+ + + + + = = (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

=

=

=

=> ++ = + + = = (2)

Từ (1) và (2) suy ra : + + = (dpcm)

Có \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}\)
\(=\left(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{CS}\right)+\left(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\). ( Do tứ giác ABIJ, BCPQ, CARS là hình bình hành).
Vậy \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\).

Tự vẽ hình nha.

Vì ADKE là hình bình hành. 

=> ^ADK = ^ AEK

=> ^ ADK + 60^o = ^ AEK + 60^o

=> ^BDK = ^KCE

Xét tam giác BDK =  tam giác KEC ( c.g.c )

=> BK = KC ( 1 )

Có ^DAE + ^ BAC + ^ DAB + ^ EAC = 360^o

=> ^ DAE + ^BAC + 120^o = 360^o

=> ^BAC = 240^o - ^DAE

mà ^DAE = 180^o - ^ADK

=> ^BAC = 60^o  + ^ADK = ^BDA

=> tam giác BAC = tam giác BDK ( c g.c )

=> BC = BK ( 2 )

Từ ( 1 ), ( 2 )

=> BC = BK = CK

=> tam giác KBC đều 

∠ (BAD) +  ∠ (BAC) +  ∠ (DAE) +  ∠ (EAC) = 360 0

Lại có:  ∠ (BAD) =  90 0 ,  ∠ (EAC) =  90 0

Suy ra:  ∠ (BAC) +  ∠ (DAE) =  180 0  (1)

AE // DI (gt)

⇒  ∠ (ADI) +  ∠ (DAE) =  180 0 (2 góc trong cùng phía)

Từ (1) và (2) suy ra:  ∠ (BAC) =  ∠ (ADI)

Xét ∆ ABC và  ∆ DAI có:

AB = AD ( vì tam giác ABD vuông cân).

AC = DI ( = AE)

∠ (BAC) =  ∠ (ADI) ( chứng minh trên)

Suy ra:  ∆ ABC =  ∆ DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC