Đáp án A

Kẻ:

M H ⊥ A D ⇒ M H = A H = x 2 2 ⇒ H D = a − x 2 2

Tam giác HND có

H N 2 = D N 2 − 2 D N . H D . c o s 2 N D H ^

= a − x 2 2 2 + x 2 − 2 x a − x 2 2 = 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2

Vì:

M H ⊥ A D ⇒ M H / / A A ' ⇒ M H ⊥ A B C D ⇒ M H ⊥ H N

Tam giác MHN vuông tại H, có  M N 2 = M H 2 + H N 2

= x 2 2 2 + 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 3 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 1 3 x − a 2 3 2 + a 2 3 ≥ a 2 3 ⇒ M N ≥ a 3 3 ⇒ M N min = a 3 3

Dấu “=” xảy ra khi  x = a 2 3

Đáp án A

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

               2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Lời giải: Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là 30 0 . Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc  30 0 , khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên MN = 1 2 A'P.

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ =  a – x    (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và A'H = 

Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) =   30 0 , do đó

Mặt khác ta lại có A'P = (2)

Từ  (1) và (2) ta tính được 

Từ đây ta rút ra được

=> Chọn phương án D. 

Chọn A

Đáp án A

Chọn B

* Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

Ta có: 

Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta có AD, MN, BD' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.

=> M song song với mặt phẳng (P) chứa BD' và song song với AD.

Nên MN//(BCD'A') hay MN//(A'BC)

* Sử dụng định lí Ta-lét.

* Sử dụng định lí Ta-lét.

Vì AD//A'D'  nên tồn tại (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp (A'D'CB)

(Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp (A'D'CB). Giả sử (Q) cắt DB tại N

Theo định lí Ta-lét ta có: 

Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD' = DB = a 2

Từ (*), ta có: AM = DN' => DN' = DN

(Q)//(A'D'CB) suy ra  luôn song song với mặt phẳng cố định (A'D'CB) hay (A'BC)

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

                 2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là 30 ° .  Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc 30 ° , khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên M N = 1 2 A ' P .

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ =  a – x (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và A ' H = A ' B ' 2 + B ' H 2 = a 2 + x 2 . Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) =   30 ° , do đó

tan P A ' H ^ = P H A ' H = a − x a 2 + x 2 = 3 3  hay a 2 + x 2 = 3 a − x (1)

Mặt khác ta lại có

A ' P = A ' H 2 + H P 2 = a 2 + x 2 + ( a − x ) 2 = 4 a − x 2 = 2 a − x  (2)

Từ (1) và (2) ta tính được  A ' P = 4 a 5 + 1 . Từ đây ta rút ra được M N = 2 a 5 + 1 .

Chọn phương án D.