Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa R = 1  và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

⇒ Thể tích khối nón là  V 1 = 1 3 π r 2 h

Tam giác AMK vuông tại K, có:

I K 2 = I M . I A ⇔ r 2 = h 2 R − h = h 2 − h

Để V 1 V 2 lớn nhất ⇔ V 2 V 1 = V C − V 1 V 1 = V C V 1 − 1 nhỏ nhất ⇔ V 1  đạt giá trị lớn nhất

Khi đó V 1 = π 3 h 2 2 − h ≤ π 3 . 32 27 = 32 π 81  (khảo sát hàm số f h = 2 h 2 − h 3 ) )

Vậy tỉ số:

V 1 V 2 = 1 : V C V 1 − 1 = 1 : 4 π 3 : 32 π 81 − 1 = 8 19

Chọn C

Lời giải.

Ta có 

Suy ra  V 1 V 2  lớn nhất khi  V V 1 nhỏ nhất =>  V 1 đạt giá trị lớn nhất.

Gọi h,r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu.

Gọi I, O lần lượt là tâm của đường tròn đáy hình nón và tâm của mặt cầu.

Gọi A là đỉnh của hình nón. Xét thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ bên.

Xét hàm 

Cách 2. 

TH1. Chiều cao của khối nón h= R + x và bán kính đáy  r 2   = R 2 - x 2

Theo BĐT Cô si cho 3 số dương, ta có

Dấu "="  xảy ra 

TH2. Chiều cao của khối nón h = R - x. Làm tương tự.

Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt cầu (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K.

Đáp án A.

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta thấy I K = r '  là bán kính đáy của hình chóp, A I = h  là chiều cao của hình chóp.

Tam giác  vuông tại K có IK là đường cao

⇒ I K 2 = A I . I M ⇒ r ' 2 = h . 2 r − h

Ta có V c o h p = 1 3 . π r ' 2 . h = 1 3 . π . h . h . 2 r − h = 4 3 π . h 2 . h 2 2 r − h .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  

h 2 . h 2 . 2 r − h ≤ h 2 + h 2 + 2 r − h 3 27 = 8 r 3 27

⇔ V c h o p ≤ 4 3 π . 8 r 3 27 = 32 81 . π r 3

Dấu bằng xảy ra khi h 2 = 2 r − h ⇔ h = 4 r 3   . Vậy ta chọn A