Đáp án A

Ký hiệu như hình vẽ. Đặt   A B = B C = C D = D A = a ; S O = h

Suy ra   S B = a 2 2 + h 2  

Gọi M là trung điểm của SB

Trong (SBD) kẻ trung trực của SB cắt SO tại I

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Suy ra I S = R .

Hai tam giác vuông SMI và SOB đồng dạng ⇒ S I S B = S M S O ⇒ R = a 2 + 2 h 2 4 h với  0 < h < 2 R .  Suy ra a 2 = 2 h 2 R − h .

Thể tích V của khối chóp là:

V = 1 3 a 2 h = 1 3 2 h 2 2 R − h = 8 3 h 2 h 2 2 R − h ≤ 8 3 h 2 + h 2 + 2 R − h 3 3 = 64 R 3 81

Vậy GTLN của V  bằng 64 R 3 81  đạt được khi   h 2 = 2 R − h ⇔ h = 4 R 3

Suy ra a = 4 R 3  .

Đáp án B

Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r

Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là R 2 = r 2 + h 2 4  

Thể tích khối trụ là V = πr 2 h = π 4 4 R 2 - h 2 . h  

Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có

4 R 2 - h 2 4 R 2 - h 2 2 h 2 ≤ 4 R 2 - h 2 + 4 R 2 - h 2 + 2 h 2 3 27

Nên  4 R 2 - h 2 . h 2 ≤ 256 R 6 27 ⇒ V ≤ π 4 4 R 2 - h 2 h ≤ 4 π 3 9 R 3  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 R 2 - h 2 = 2 h 2 ⇔ h = 2 R 3 3 .

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa R = 1  và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

⇒ Thể tích khối nón là  V 1 = 1 3 π r 2 h

Tam giác AMK vuông tại K, có:

I K 2 = I M . I A ⇔ r 2 = h 2 R − h = h 2 − h

Để V 1 V 2 lớn nhất ⇔ V 2 V 1 = V C − V 1 V 1 = V C V 1 − 1 nhỏ nhất ⇔ V 1  đạt giá trị lớn nhất

Khi đó V 1 = π 3 h 2 2 − h ≤ π 3 . 32 27 = 32 π 81  (khảo sát hàm số f h = 2 h 2 − h 3 ) )

Vậy tỉ số:

V 1 V 2 = 1 : V C V 1 − 1 = 1 : 4 π 3 : 32 π 81 − 1 = 8 19

Đáp án D

Chọn C

Lời giải.

Ta có 

Suy ra  V 1 V 2  lớn nhất khi  V V 1 nhỏ nhất =>  V 1 đạt giá trị lớn nhất.

Gọi h,r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu.

Gọi I, O lần lượt là tâm của đường tròn đáy hình nón và tâm của mặt cầu.

Gọi A là đỉnh của hình nón. Xét thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ bên.

Xét hàm 

Cách 2. 

TH1. Chiều cao của khối nón h= R + x và bán kính đáy  r 2   = R 2 - x 2

Theo BĐT Cô si cho 3 số dương, ta có

Dấu "="  xảy ra 

TH2. Chiều cao của khối nón h = R - x. Làm tương tự.

Chọn đáp án D

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó OI  ⊥ (ABCD)

⇒ IA = IB = IC = ID với ∆ S A C  vuông tại A, IA = IS = IC. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA = a 2 ⇒ SC = 2a 2 . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ∆ S A C  vuông cân