Chọn A.

Ta có:

u 218 = 217 + u 217 = 217 + 216 + . . . + 2 + 1 + 0 = 217 . 218 2 = 23653 .

Đặt \(\dfrac{u_n}{n+1}=v_n\)

\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{u_1}{1+1}=1\\v_{n+1}=\dfrac{1}{4}v_n,\forall n\in N\text{*}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow u_n=\left(n+1\right).\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)

Ta có

Dự đoán

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).

Từ đó

un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1

= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2

Đáp án là D

Đặt \(u_n+\dfrac{5}{4}=v_n\)

\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{9}{4};v_2=\dfrac{13}{4}\\v_{n+2}=2v_{n+1}+3v_n\end{matrix}\right.\)

Ta có CTTQ của dãy \(\left(v_n\right)\) là:

\(v_n=\dfrac{11}{24}.3^n-\dfrac{7}{8}.\left(-1\right)^n\)

(Bạn tự chứng minh theo quy nạp)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{11}{24}.3^n-\dfrac{7}{8}\left(-1\right)^n-\dfrac{5}{4}\) với \(\forall n\in N\text{*}\)

\(\Rightarrow S=2\left(u_1+u_2+...+u_{100}\right)+u_{101}\)

\(=\left[\dfrac{11}{12}\left(3^1+3^2+...+3^{100}\right)-\dfrac{7}{4}\left(-1+1-...+1\right)-\dfrac{5}{2}.100\right]+\dfrac{11}{24}.3^{101}-\dfrac{7}{8}.\left(-1\right)^{101}-\dfrac{5}{4}\)

\(=\dfrac{11}{12}.\dfrac{3^{101}-3}{2}-250+\dfrac{11}{24}.3^{101}+\dfrac{7}{8}\)

\(=\dfrac{11}{24}.\left(2.3^{101}-3\right)-\dfrac{1993}{8}\)

\(=\dfrac{11}{4}.3^{100}-\dfrac{501}{2}\)

A. Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n}}} = {u_n}\) phụ thuộc vào n nên (\({u_n})\) thay đổi, do đó\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải cấp số nhân.

B. Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{{u_n}}}}= 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).

C. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} = 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = 2\) .

D. Ta có: \({u_{n + 1}}- {u_n} =  - 2\), do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \(d = -2\).

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án C

Ta có 0 < u 1 < 1  và nếu 0 < u k < 1  thì u k + 1 = 1 2 - u k < 1  nên bằng quy nạp ta có:

0 < u n < 1, ∀ n .

Ta có u 1 = 1 2 < u 2 = 2 3  và nếu u k < u k + 1  thì u k + 2 − u k + 1 = 1 2 − u k + 1 − 1 2 − u k > 0  nên bằng quy nạp ta có:  u n < u n + 1 , ∀ n .

Do đó dãy u n  tăng và bị chặn nên tồn tại lim u n = I ∈ R .

Ta có 

lim u n + 1 = lim 1 2 − u n ⇒ I = 1 2 − I ⇒ − I 2 + 2 I − 1 = 0

⇒ I = 1.