dạ xin lỗi ạ Tam giác ABC đều ạ 

- Xét tam giác AFM vuông tại F có:

AF²+FM²=AM² (định lí Py-ta-go).

=>FM²=AM²-AF². (1)

- Xét tam giác BFM vuông tại F có:

BF²+FM²=BM² (định lí Py-ta-go).

=>FM²=BM²-BF² (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: AM²-AF²=BM²-BF² (7)

- Xét tam giác MBD vuông tại D có:

MD²+BD²=BM² (định lí Py-ta-go).

=>MD²=BM²-BD² (3)

- Xét tam giác MCD vuông tại D có:

MD²+DC²=MC² (định lí Py-ta-go).

=>MD²=MC²-DC² (4)

- Từ (3) và (4) suy ra: BM²-BD²=MC²-DC² (8)

- Xét tam giác MEC vuông tại E có:

ME²+EC²=MC² (định lí Py-ta-go).

=>ME²=MC²-EC² (5)

- Xét tam giác MEA vuông tại E có:

ME²+AE²=MA² (định lí Py-ta-go).

=>ME²=MA²-AE² (6)

- Từ (5) và (6) suy ra: MC²-EC²=MA²-AE² (9)

- Từ (7),(8),(9) suy ra:

AM²-AF²+BM²-BD²+MC²-EC²=BM²-BF²+MC²-DC²+MA²-AE²

=>-AF²-BD²-EC²=-BF²-DC²-AE²

=>AF²+BD²+EC²=BF²+DC²+AE²

                                                                       BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA

                                                                                       Giải 

                                    Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:

   a)                      Ta có S_{tam giác BMC}+S_{tam giác CMA}+S_{tam giác AMB} =S​_{tam giác ABC}                    

                   <=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah  <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah      

              <=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

   b)                    x²+y²\(\ge\)2xy ; y²+z²\(\ge\)2yz ;  z²+x²\(\ge\)2zx

             =>2.(x²+y²+z²)  \(\ge\)2xy+2xz+2yz

             =>3.(x²+y²+z²)   \(\ge\)x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz

            =>x²+y²+z²     \(\ge\)(x+y+z)²/3=h²/3  không đổi

                     Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

           Vậy để x² + y² + z² đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC

\(a.\)Ta có:    \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
                      \(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
                      \(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
   mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm

định lí các nô 

bạn tự vẽ hình nha 

trong tam giác vuông AEM có \(AE^2=AM^2-EM^2\)

trong tam giac vuong BMF co \(BF^2=BM^2-MF^2\)

trong tam giác vuông MDC có \(CD^2=MC^2-MD^2\)

SUY RA \(AE^2+BF^2+CD^2=AM^2+BM^2+MC^2-EM^2-MF^2-MD^2\)

tương tư \(BE^2=BM^2-EM^2,FC^2=MC^2-MF^2,AD^2=AM^2-MD^2\)

SUY RA \(BE^2+FC^2+AD^2=AM^2+BM^2+MC^2-EM^2-MF^2-MD^2\)

SUY RA DPCM