\(VT=x^3y^3\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{8}.2xy.2xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)\)

\(\le\frac{1}{8}\left[\frac{\left(4xy+2xy+x^2+y^2\right)^4}{256}\right]\)(áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số)

\(=\frac{1}{8}.\frac{\left[4xy+\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}\le\frac{1}{8}.\frac{\left[2\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

Ta có đpcm/

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki , ta có : 

\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\) \(\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=2\left(x+y\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^4\le4\left(x+y\right)^2=4\left(1.x+1.y\right)^2\le4\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le8\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 

Bài 3:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)

-Tham khảo:

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz-2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)-8\leq 0$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4(x+y+z)-8+xyz$

Mà $4(x+y+z)-8+xyz=4.3-8+xyz=4+xyz\geq 4$ do $x,y,z\geq 0$

Do đó $2(xy+yz+xz)\geq 4$

Suy ra $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=9-2(xy+yz+xz)\leq 9-4=5$

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0)$ và các hoán vị.

Có nhiều cách!

Cách 2:Giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow3x\ge x+y+z=3\Rightarrow2\ge x\ge1\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+2yz+z^2=x^2+\left(y+z\right)^2\)

\(=x^2+\left(3-x\right)^2=2x^2-6x+9\)

\(=2\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\le5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị

Vậy...

Cách 3: Dùng khai triển Abel: Câu hỏi của Thảo Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (em không chắc lắm nhưng cứ đăng)