a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b

suy ra cả m,n,p đều bằng -abc

a +b +c = 0 => a + b = -c ; a +c = -b ; b+c = -a

thay vào M ta có

M = a . -c . -b = abc (1)

Thay tương tự vào N , P ta cũng đc N =abc (2)

                                                     P =abc( 3)

Từ 1 2 và 3 => ĐPCM 

Vậy .....

Từ \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a.\left(-c\right).\left(-b\right)=abc\\N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\\P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c.\left(-b\right).\left(-a\right)=abc\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M=N=P\) ( đpcm )

Wish you study well !!

Vì \(a+b+c=0\)

Theo đề bài có : \(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\) (1)

    \(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\)    (2)

    \(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\)(3)

Từ (1) ;(2) và (3)

\(\Rightarrow M=N=P\) (đpcm)

Ta có:

\(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)\left(a+c\right)-b\left(b+c\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-b^2+ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\a-b=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\)

Vì \(a\ne\pm b\Rightarrow a+b+c=0\) (đpcm)

\(a\ne\pm b\)   =>  \(a\pm b\ne0\)

Như vậy:   \(a\left(a+b\right)\left(b+c\right)=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

<=>  \(a\left(a+b\right)=b\left(b+c\right)\)

<=>  \(a^2+ab-b^2-bc=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)=0\)

<=>  \(a+b+c=0\)  đpcm

a(a+b)(a+c)=b(b+c)(b+a)\(\Leftrightarrow\)a(a+c)=b(b+c)   \(\Leftrightarrow\)   a(a+c)-b (b=c)    =0    \(\Leftrightarrow\)   a²-b²+ac-bc=0      \(\Leftrightarrow\) (  a  - b) (  a + b)+c ( a-b )=0   \(\Leftrightarrow\)    ( a-b)(  a+b+c)=0     \(\Leftrightarrow\) a+b+c=0(do a\(\ne\) \(\mp\)^b)

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)

Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương

Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)