Bài 2:

\(A=\dfrac{x\left(x^3+1\right)}{x^2-x+1}-\dfrac{x\left(x^3-1\right)}{x^2+x+1}\)

\(=x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)\)

=x^2+x-x^2+x

=2x

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

c) \(h\left(x\right)=\left(x+1\right)^2+\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(x+1+\dfrac{1}{x+1}\right)^2=2\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+2\ge_{AM-GM}2\sqrt{2}+2\).

Đẳng thức xảy ra khi \(2\left(x+1\right)^2=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}-1\).

b) \(g\left(x\right)=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x}=\dfrac{x^2+5x+6}{x}=\left(x+\dfrac{6}{x}\right)+5\ge_{AM-GM}2\sqrt{6}+5\).

Đẳng thức xảy ra khi x = \(\sqrt{6}\).

Câu 1:

\(A=21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)=21a+\frac{21}{b}+3b+\frac{3}{a}\)

\(=(\frac{a}{3}+\frac{3}{a})+(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b})+\frac{62}{3}a+\frac{2b}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{3}+\frac{3}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{3}.\frac{3}{a}}=2\)

\(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b}\geq 2\sqrt{\frac{7b}{3}.\frac{21}{b}}=14\)

Và do $a,b\geq 3$ nên:

\(\frac{62}{3}a\geq \frac{62}{3}.3=62\)

\(\frac{2b}{3}\geq \frac{2.3}{3}=2\)

Cộng tất cả những BĐT trên ta có:

\(A\geq 2+14+62+2=80\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=3$

Câu 2:

Bình phương 2 vế ta thu được:

\((x^2+6x-1)^2=4(5x^3-3x^2+3x-2)\)

\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+34x^2-12x+1=20x^3-12x^2+12x-8\)

\(\Leftrightarrow x^4-8x^3+46x^2-24x+9=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-4x)^2+6x^2+24(x-\frac{1}{2})^2+3=0\) (vô lý)

Do đó pt đã cho vô nghiệm.

3 câu này bạn áp dụng cái này nhé.

`a^2 >=0 forall a`.

`|a| >=0 forall a`.

`1/a` xác định `<=> a ne 0`.

a: P=(x+30)^2+(y-4)^2+1975>=1975 với mọi x,y

Dấu = xảy ra khi x=-30 và y=4

b: Q=(3x+1)^2+|2y-1/3|+căn 5>=căn 5 với mọi x,y

Dấu = xảy ra khi x=-1/3 và y=1/6

c: -x^2-x+1=-(x^2+x-1)

=-(x^2+x+1/4-5/4)

=-(x+1/2)^2+5/4<=5/4

=>R>=3:5/4=12/5

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

\(B=-\left(\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{15}\right)^6+3\)

vì \(B=-\left(\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{15}\right)^6\le0,\forall x\inℝ\)

\(\Rightarrow B=-\left(\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{15}\right)^6+3\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{15}=0\Rightarrow\dfrac{4}{9}x=\dfrac{2}{15}\Rightarrow x=\dfrac{9}{15}\)

Vậy \(GTLN\left(B\right)=3\left(tạix=\dfrac{9}{15}\right)\)

\(A=\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)^4-1\)

vì \(\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)^4\ge0,\forall x\inℝ\)

\(\Rightarrow A=\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)^4-1\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(2x+\dfrac{1}{3}=0\Rightarrow2x=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow GTNN\left(A\right)=-1\left(tạix=-\dfrac{1}{6}\right)\)

a) \(f(x)\geq 2\sqrt{x^2.\frac{16}{x^2}}=2\sqrt{16}=2.4=8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=\frac{16}{x^2}\)

                                   \(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy GTNN của \(f(x)\) bằng 8 khi x=2

b) \(f(x)=\frac{1-x+x}{x}+\frac{2-2x+2x}{1-x}\)

\(f(x)=\frac{1-x}{x}+\frac{2x}{1-x}+3\)

\(f(x)\geq 2\sqrt{\frac{1-x}{x}.\frac{2x}{1-x}}+3=2\sqrt{2}+3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1-x}{x}=\frac{2x}{1-x}\)

                                             \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(f(x)\) bằng \(2\sqrt{2} +3\) khi \(x=\frac{1}{2}\)