Lời giải:

$\frac{5}{x}-\frac{y}{3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{15-xy}{3x}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{2(15-xy)}{6x}=\frac{x}{6x}$

$\Rightarrow 2(15-xy)=x$

$\Rightarrow 30=2xy+x$

$\Rightarrow 30=x(2y+1)$

$\Rightarrow x=\frac{30}{2y+1}$

Vì $x$ nguyên nên $\frac{30}{2y+1}$ nguyên

$\Rightarrow 2y+1$ là ước của $30$

Vì $2y+1$ lẻ nên $2y+1\in\left\{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\right\}$

$\Rightarrow y\in\left\{-1; 0; -2; 1; -3; 2; -8; 7\right\}$

Tương ứng với các giá trị $y$ trên ta có: $x\in\left\{-30; 30; -10; 10; -6; 6; -2;2\right\}$

Bài 3 :

\(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...+\dfrac{1}{2023!}\)

\(\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2.1}=1-\dfrac{1}{2}< 1\)

\(\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{3.2.1}=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}< 1\)

\(\dfrac{1}{4!}=\dfrac{1}{4.3.2.1}< \dfrac{1}{3!}< \dfrac{1}{2!}< 1\)

.....

\(\)\(\dfrac{1}{2023!}=\dfrac{1}{2023.2022....2.1}< \dfrac{1}{2022!}< ...< \dfrac{1}{2!}< 1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...+\dfrac{1}{2023!}< 1\)

Bạn xem lại đề 2, phần mẫu của N

c, x/2+1/y=1/3         (x,y∈Z)

⇒1/y=1/3-x/2

⇒1/y=2-3x/6

⇒y(2-3x)=6

⇒y∈Ư(6)∈{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6}

Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn pt trên là (0;3);(1;-6)

d, 4x-5⋮2x+1     (x∈Z)

⇒4x-5-2(2x+1)⋮2x+1

⇒-7⋮2x+1

⇒2x+1∈Ư(-7)∈{1;-1;7;-7}

Ta lập bảng

Vậy với x=-4;x=0;x=1;x=3 thì thỏa mãn pt trên

a) Để y nguyên thì \(6x-4⋮2x+3\)

\(\Leftrightarrow-13⋮2x+3\)

\(\Leftrightarrow2x+3\in\left\{1;-1;13;-13\right\}\)

\(\Leftrightarrow2x\in\left\{-2;-4;10;-16\right\}\)

hay \(x\in\left\{-1;-2;5;-8\right\}\)

\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{8}\left(x;y\in Z\right)\)

\(MSC:8x\left(x\ne0\right)\)

\(pt\Leftrightarrow\dfrac{40+2xy}{8x}=\dfrac{x}{8x}\)

\(\Leftrightarrow40+2xy=x\)

\(\Leftrightarrow x-2xy=40\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-2y\right)=40\)

\(\Leftrightarrow x;\left(1-2y\right)\in U\left(40\right)=\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-5;5;-8;8;-10;10;-20;20;-40;40\right\}\)

Bạn lập bảng sẽ tìm ra các cặp \(\left(x;y\in Z\right)\) nhé!

Lời giải:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow 8(x+y)=xy$
$\Rightarrow xy-8x-8y=0$

$\Rightarrow x(y-8)-8(y-8)=64$

$\Rightarrow (x-8)(y-8)=64$

Do $x,y$ tự nhiên nên $x-8,y-8\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow x-8$ là ước của $64$. Mà $x-8>-8$ với mọi $x\in\mathbb{N}^*$ nên:

$x-8\in\left\{1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; -1; -2; -4\right\}$

Đến đây bạn chỉ cần chịu khó xét các TH là được.

b) Ta quy đồng rồi => x+xy = 4

=> x(y+1) = 4 thì  

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{-1}{3}+\dfrac{-2}{3}\le x< \dfrac{-3}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{-2}{5}+\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{-1}{3}+\dfrac{-2}{3}\right)\le x< \left(\dfrac{-3}{5}+\dfrac{-2}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}+\left(-1\right)\le x< -1+\dfrac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{2}\le x< \dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{6}\le x< \dfrac{4}{6}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}\)

⇔x∈{−3;−2;−1;0;1;2;3}