Giải:

Từ giả thiết ta có:

\(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)=\left(x+2\right)q_1\left(x\right)\\\\f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)q_2\left(x\right)+x\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}32+4a-2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\frac{28}{3}\\b=1\\c=\frac{22}{3}\end{cases}}}\)

Đặt f(x) = 2x4+ax2+bx+c

Áp dụng định lí Be - du ta có: r = f(x)

=> {r=f(2)r=f(1)r=f(−1)

Thay x = 2; 1; -1 lần lượt vào f(x) ta được:

{f(2)=32+4a+2b+cf(1)=2+a+b+cf(−1)=2+a−b+c

Mà {f(x)⋮(x−2)f(x)chia(x2−1)dư2x => {32+4a+2b+c=02+a+b+c=22+a−b+c=−2

=> {4a+2b+c=−32(1)a+b+c=0(2)a−b+c=−4(3)

Trừ (2) cho (3) ta được: 2b=4 => b = 2

=> {4a+c=−36(4)a+c=−2(5)

Trừ (4) cho (5) ta được: 3a=−34 => a = −343 => c = 283

Vậy a = −343 ; b = 2 ; c = 283

P/s: Hi vọng bn hiểu!

F(-2)=0=> -8a+4b+c=0 (1)

f(1)=6=> a+b+c=6 (2)

f(-1)=4=> -a+b+c=4 (3)

(2) trừ (3)=> 2a=2=> a=1; thay vào (3)=> c=5-b thay vào (1)

-8+4b+5-b=0=> b=1

\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=1\\c=4\\f\left(x\right)=-x^3+x^2+4\end{matrix}\right.\)

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

Mình có nghĩ ra cách này mọi người xem giúp mình với

f(x) = \(ax^2+bx+c\) 

Ta có f(0) = 2 => c = 2

Ta đặt Q(x) = \(ax^2+bx+c-2020\)

và G(x) = \(ax^2+bx+c+2021\)

f(x) - 2020 chia cho x - 1 hay Q(x) chia cho x - 1 được số dư

\(R_1\) = Q(1) = \(a.1^2+b.1+c-2020=a+b+c-2020\)  

Mà Q(x) chia hết cho x-1 nên \(R_1\) = 0

hay \(a+b+c-2020=0\). Mà c = 2 => a + b = 2018 (1)

G(x) chia cho x + 1 số dư 

\(R_2\) = G(-1) = \(a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c+2021=a-b+2+2021\)

Mà G(x) chia hết cho x + 1 nên \(R_2\)=0

hay \(a-b+2+2021=0\) => \(a-b=-2023\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)

ko biết !!!

\(f\left(0\right)=c⋮3\) ;

 \(f\left(1\right)=a+b+c⋮3\) mà \(c⋮3\Rightarrow a+b⋮3\)

\(f\left(-1\right)=a-b+c=-2b+\left(a+b+c\right)⋮3\)  mà \(a+b+c⋮3\Rightarrow-2b⋮3\Rightarrow b⋮3\) (do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮3\\b⋮3\\c⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a⋮3\)

Theo định lý Bezout ta có:

\(f\left(1\right)=f\left(2\right)=f\left(-3\right)=2;f\left(-2\right)=-10\)

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+1=2\)

\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d+16=2\)

\(f\left(-3\right)=-27a+9b-3c+d+81=2\)

\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d+16=-10\)

Đến đây bạn dùng Casio fx 580 tìm nghiệm hộ mình nhé !

em gửi bài qua fb thầy chữa cho, tìm fb của thầy bằng sđt nhé: 0975705122

Bài 1:

\(2x^4+ax^2+bx+c⋮x-2\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-2\right)\cdot a\left(x\right)\)

Thay \(x=2\Leftrightarrow32+4a+2b+c=0\Leftrightarrow4a+2b+c=-32\left(1\right)\)

\(2x^4+ax^2+bx+c:\left(x^2-1\right)R2x\\ \Leftrightarrow2x^4+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot b\left(x\right)+2x\)

Thay \(x=1\Leftrightarrow2+a+b+c=2\Leftrightarrow a+b+c=0\left(2\right)\)

Thay \(x=-1\Leftrightarrow2+a-b+c=-2\Leftrightarrow a-b+c=-4\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\\a+b+c=0\\a-b+c=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{34}{3}\\b=2\\c=\dfrac{28}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Do \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương bậc 2 nên dư bậc 1

Gọi đa thức dư là \(ax+b\)

Vì \(f\left(x\right):x^2+x-12\) được thương là \(x^2+3\) và còn dư nên

\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x-3\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\)

Thay \(x=3\Leftrightarrow f\left(3\right)=3a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x-3\right)R2\Leftrightarrow f\left(3\right)=2\Leftrightarrow3a+b=2\left(1\right)\)

Thay \(x=-4\Leftrightarrow f\left(-4\right)=-4a+b\)

Mà \(f\left(x\right):\left(x+4\right)R9\Leftrightarrow f\left(-4\right)=9\Leftrightarrow-4a+b=-9\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=2\\-4a+b=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=5\end{matrix}\right.\)

Do đó \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)-x+5\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+3x^2+x^3+3x-12x^2-36-x+5\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4+x^3-9x^2+2x-31\)