Ta có: \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\)

=>\(a+b+c\ge0\)

=>\(a+b\ge-c\)

=>\(\left(a+b\right)^3\ge\left(-c\right)^3\)

=>\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ge-c^3\)

=>\(a^3+b^3+3.ab.\left(a+b\right)-\left(-c^3\right)\ge0\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\)

Vì a+b=-c

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(-c\right)\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

=>ĐPCM

Mình nhầm chỗ:

Vì \(a+b\ge-c\)

=>\(a^3+b^3+c^3\ge-3ab.\left(a+b\right)\ge-3ab.\left(-c\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c .

Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Đpcm

Áp dụng bđt cô si dạng engel cho 3 số dương:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c

Chúc bạn học tốt!

Câu hỏi của Pé Ken - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tham khảo

C1 : Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm ta được :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

C2 : Sử dụng biến đổi tương đương :

Ta có :\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Do đó có : \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Xét hiệu \(a^3+b^3+c^3-3abc\) ta có:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right).c-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\)

Vì \(a,b,c\ge0\)\(\Rightarrow a+b+c\ge0\)

mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)

hay \(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=c=0\\a=b=c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\ge0\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

Bài thiếu điều kiện \(a+b+c\ge0\)

Dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)nên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c=0\end{cases}}\)

Cách này có được không ta?

Đặt \(\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) và thêm đk a,b,c>0

Chuẩn hóa x + y + z = 1 (*) thì ta cần chứng minh:

\(1\ge3\sqrt{xyz}\Leftrightarrow f\left(x;y;z\right)=1-27xyz\ge0\)

Ta nhận thấy nếu thay x và y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) thì (*) vẫn thỏa mãn.

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=t^2\)

Suy ra \(f\left(x;y;z\right)\ge1-27t^2z=f\left(t;t;z\right)\)

Thay x;y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) vào (*) suy ra được: \(z=1-2t\)

Khi đó ta cần chứng minh: \(f\left(t;t;z\right)=1-27t^2\left(1-2t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow54t^3-27t^2+1\ge0\Leftrightarrow\left(6t+1\right)\left(3t-1\right)^2\ge0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x = y và t = 1/3 tương đương với x = y =z =1/3

Tương đương với x = y =z (do đầu bài ta chuẩn hóa x + y + z = 1)

Tức là a = b =c

BL:   a + b + c > 0  =>  a + b >= -c

Ta có:  a + b  .>=  -c

      => ( a + b )³ >= (-c)³

     => a³ + b³ + 3ab ( ab) >= (-c)³

    => a³ + b³ + 3ab ( -c) >= (-c)³

   => a³ + b³ + c³ >= 3abc    ( ĐPCM)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (Luôn đúng \(\forall a;b;c>0\) )

Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Đặt \(a=x^2,b=y^3,c=z^3\)

+ \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2+z^2-yz-xz-3xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)

Vì BĐT cuối luôn đúng \(\forall x,y,z\ge0\) nên ta có đpcm

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

cách 2: Đặt \(a=x^3,b=y^3,c=z^3\)

Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số ko âm :

\(\left(x^3+y^3\right)+\left(z^3+xyz\right)\ge2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{xyz^4}=2\sqrt{xy}\left(xy+z^2\right)\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\)

+ \(xy+z^2\ge2\sqrt{xyz^2}=2\sqrt{xy}\cdot z\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow z^2=xy\)

Do đó : \(x^3+y^3+z^3+xyz\ge2\sqrt{xy}\cdot2z\sqrt{xy}=4xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3xyz\Rightarrow\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)