\(\Delta BMC:\widehat{BMC}=90^0;OB=OC\Rightarrow OM=OB=OC\Rightarrow\widehat{OMC}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)(do tam giác OMC cân)

\(\Delta AMH:\widehat{AMH}=90^0;AI=HI\Rightarrow AI=HI=IM\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IMA}\left(2\right)\)(do tam giác IAM cân)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{OMC}=\widehat{IAM}+\widehat{OCM}=90^0\Rightarrow\widehat{IMO}=90^0\)

Tương tự thì \(\widehat{INO}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{NIM}+\widehat{NOM}=180^0\left(DPCM\right)\)

Tham khảo:

a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.

Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)

Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :

AM = AN (cmt)

AB = AC

Góc A chung

\( \Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC\)

\( \Rightarrow BM = CN\) ( 2 cạnh tương ứng )

b) Vì BM và CN là các đường trung tuyến

Mà I là giao điểm của BM và CN

\( \Rightarrow \) I là trọng tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) H là trung điểm của BC

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
góc A chung

AM=AN

=>ΔABM=ΔACN

b: Xét ΔABC có

BM,CN là trung tuyến

BM cắt CN tại I

=>I là trọng tam

=>H là trung điểm của BC

ΔABC cân tại A

mà AH là trung tuyến

nên AH vuông góc BC

ΔPKN đồng dạng với ΔPMA

=>góc PKN=góc PMH

=>AKNM nội tiếp

mà góc ANH=góc AMH=90 độ

nên ANHM nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>góc AKH=góc ANH

=>AK vuông góc KH

Kẻ đường kính AI' của (O)

=>I'K vuông góc AK

=>K,H,I' thẳng hàng

AC vuông góc CI'; AB vuông góc BI'

=>CI'//BH và BI'//CH

=>BHCI' là hình bình hành

=>K,H,I thẳng hàng

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

AM=AN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: BM=CN

b: Xét ΔNBC và ΔMCB có 

NB=MC

BC chung

NC=MB

Do đó: ΔNBC=ΔMCB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

=>ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

mà AB=AC

nên AI là đường trung trực của BC

=>H là trung điểm của BC