A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

= 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + .... + 2⁹⁹(1 + 2)

= 3(2 + 2³ + ... + 2⁹⁹)     \(⋮3\)

Ta thấy    A  \(⋮2\)vì tất cả hạng tử của A chia hết cho 2

mà (2; 3) = 1

nên    A \(⋮6\)

Ta có: A= 2+2²+2³+2⁴+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰

=> A= (2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2⁹⁹+2¹⁰⁰)

=> A= (2+2²) +2²(2+2²)+...+2⁹⁹(2+2²)

=> A= 6+2².6+...+2⁹⁹.6 

=> A= 6(1+2²+...+2⁹⁹) chia hết cho 6

 ta có a: 3 dư 1( vì tổng các chữ số của a = 52 : 3 dư 1)  

b: 3 dư 2( vì tổng các chữ số của b = 104 : 3 dư 2)  

Đặt a = 3m+1, b=3n+2( m, n thuộc N)  

có a.b =(3m+1)(3n+2)=3(3mn+2m+n) +2 : 3 dư 2  

Vậy ab : 3 dư 2

b)3S=3(1+3+3²+3³+...+3²⁰¹²)

3S=3+3²+3³+...+3²⁰¹³

3S-S=(3+3²+3³+...+3²⁰¹³)-(1+3+3²+3³+...+3²⁰¹²)

2S=3²⁰¹³-1

Vậy 2S ko fai số chính phương

Nguyễn Huy Thắng Nhanh ha:)) Chưa kịp làm nữa

vì số tự nhiên a chia cho 24 được số dư là 10 nên a = 24k + 10

Ta có 

a = 24k + 10 = 2 x 12k + 2.5 = 2 . ( 12k + 5 ) chia hết cho 2

=> a chia hết cho 2

ta có :

24k ko chia hết cho 4

10 ko chia hết cho 4

=> 24k + 10 ko chia hết cho 4

=> a ko chia hết cho 4

\(a=15k+9=3\left(5k+3\right)⋮3\)

\(a=15k+9=15k+10-1=5\left(3k+2\right)-1⋮̸5\)

S=1+3+\(3^2\)+\(3^3\)+.....+\(3^{2012}\)

S=(1+3)+(\(3^2\)+\(3^3\))+.......+(\(3^{2011}\)+\(3^{2012}\))

S=4+\(3^2\).(1+3)+.......+\(3^{2011}\)(1+3)

S=4+4.\(3^2\)+....+4.\(3^{2011}\)

S=4.(1+\(3^2\)+.....+\(3^{2011}\))\(⋮\)4

Vậy S chia hết cho 4

\(S=1+3+3^2+3^3+...+3^{2012}\)

\(S=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2010}+3^{2011}\right)+3^{2012}\)

\(S=4+3^2\left(1+3\right)+...+3^{2010}\left(1+3\right)+3^{4\times503}\)

\(S=4+3^2\times4+...+3^{2010}\times4+\left(.....1\right)\) (các chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n thì chữ số tận cùng là 1)

mà \(\left(.....1\right)⋮̸4\)

\(\Rightarrow S⋮̸4\)

Chúc bạn học tốt