#\(N\)

`a,` Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là `x,y,z (x,y,z \ne 0)`

Các cạnh `AB, AC, BC` của tam giác có tỉ lệ `4:5:6`

Nghĩa là: `x/4 = y/5 = z/6`

Chu vi của tam giác là `30 cm`

`-> x+y+z=30`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`x/4 = y/5 = z/6 =`\(\dfrac{x+y+z}{4+5+6}=\dfrac{30}{15}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{4}=2\\\dfrac{y}{5}=2\\\dfrac{z}{6}=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot4=8\\y=2\cdot5=10\\z=2\cdot6=12\end{matrix}\right.\)

Vậy, các cạnh `AB, AC, BC` của tam giác lần lượt có độ dài là `8, 10, 12`

`-> BC > AC > AB`

`*`Theo định lí `1` của tam giác `->` \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\)

Vì ta biết tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác ABC, ta có thể giải quyết bài toán bằng cách sử dụng định lý Cosin và định lý Sin để tính toán độ lớn các góc trong tam giác.

Đặt ab = 4x, ac = 5x, bc = 6x là độ dài các cạnh của tam giác. Từ đó, ta có:

Chu vi tam giác ABC = ab + ac + bc = 4x + 5x + 6x = 15x Do đó, ta có: 15x = 30cm → x = 2cm

Sau đó, ta tính được độ dài của các cạnh của tam giác: ab = 8cm, ac = 10cm và bc = 12cm.

Theo định lý Cosin, ta có: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Áp dụng công thức này, ta tính được các giá trị cos của các góc trong tam giác: cos(A) = 3/4 cos(B) = 1/2 cos(C) = 1/4

Ta thấy rằng góc A có cosin lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất trong tam giác.

Theo định lý Sin, ta có: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Từ đó, ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = abc / 4S = 5cm, với S là diện tích tam giác.

Sử dụng công thức này, ta tính được các giá trị sin của các góc trong tam giác: sin(A) = 4/5 sin(B) = 3/5 sin(C) = 1/5

Từ đó, ta có thể so sánh độ lớn của các góc của tam giác ABC: sin(A) > sin(B) > sin(C) và cos(A) > cos(B) > cos(C)

Vậy, góc A là góc lớn nhất trong tam giác, tiếp theo đến góc B và cuối cùng là góc C.