a) Gọi d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 1         ( n e N )

    Ta có : 4n + 3 \(⋮\)d                  ( 1 )

                2n + 1 \(⋮\)d hay 2 ( 2n + 1 ) \(⋮\)d = 4n + 2 \(⋮\)d                      ( 2 )

      Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :       ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) \(⋮\)d

                                          hay          1 \(⋮\)d      suy ra       d = 1

                       Vậy ƯCLN ( 4n + 3 ; 2n + 1 ) = 1 

b)   Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 4n + 5 

      Ta có : 6n + 1 \(⋮\)d hay 2 ( 6n + 1 ) \(⋮\)d = 12n + 2 \(⋮\)d                  ( 1 )

                  4n + 5 \(⋮\)d hay 3 ( 4n + 5 ) \(⋮\)d = 12n + 15 \(⋮\)d                  ( 2 )

        Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra

             ( 12n + 15 ) - ( 12n + 2 ) \(⋮\)d

       Hay 13 \(⋮\)d

      Suy ra d e ƯC ( 13 ) = { 1 ; 13 }

          Ta có 6n + 1 chia hết cho 13 suy ra 2 ( 6n + 1 ) chia hết cho 13 suy ra 13n - ( n - 2 ) chia hết cho 13

                  suy ra n - 2 chia hết cho 13 suy ra n - 2 = 13k suy ra n = 13k + 2       ( k e N )

                    Suy ra với n \(\ne\)13k + 2 thì 6n + 1 không chia hết cho 13  nên d không thể là 13.

             Do đó d = 1 

                    Vậy ƯCLN ( 6n + 1 , 4n + 5 ) = 1

) Gọi d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 2n + 1 ( n e N )
Ta có : 4n + 3 ⋮d ( 1 )
2n + 1 ⋮d hay 2 ( 2n + 1 ) ⋮d = 4n + 2 ⋮d ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) ⋮d
hay 1 ⋮d suy ra d = 1
Vậy ƯCLN ( 4n + 3 ; 2n + 1 ) = 1
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 4n + 5
Ta có : 6n + 1 ⋮d hay 2 ( 6n + 1 ) ⋮d = 12n + 2 ⋮d ( 1 )
4n + 5 ⋮d hay 3 ( 4n + 5 ) ⋮d = 12n + 15 ⋮d ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra
( 12n + 15 ) - ( 12n + 2 ) ⋮d
Hay 13 ⋮d
Suy ra d e ƯC ( 13 ) = { 1 ; 13 }
Ta có 6n + 1 chia hết cho 13 suy ra 2 ( 6n + 1 ) chia hết cho 13 suy ra 13n - ( n - 2 ) chia hết cho 13
suy ra n - 2 chia hết cho 13 suy ra n - 2 = 13k suy ra n = 13k + 2 ( k e N )
Suy ra với n ≠ 13k + 2 thì 6n + 1 không chia hết cho 13 nên d không thể là 13.

Gọi ƯCLN(4n+3; 2n+3) là d. Ta có:

4n+3 chia hết cho d

2n+3 chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d

=> 4n+6-(4n+3) chia hết cho d

=> 3 chia hết cho d

Giả sử ƯCLN(4n+3; 2n+3) \(\ne\)1

=> 2n+3 chia hết cho 3

=> 2n+3+3 chia hết cho 3

=> 2n+6 chia hết cho 3

=> 2(n+3) chia hết cho 3

=> n+3 chia hết cho 3

=> n = 3k - 3

Vậy để ƯCLN(2n+3; 4n+3) = 1 thì n \(\ne\) 3k-3

c) Gọi d là ƯCLN(n; n+2)

=> n chia hết cho d

=> n+2 chia hết cho d

<=> n+2 -n chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d=1 hoăc d=2

=> ƯCLN(n;n+2) là 2

Vậy...

a) Ta có: $(3n+2,5n+3)=(3n+2,2n+1)=(n+1,2n+1)=(n+1,n)=1$.

Các câu sau chứng minh tương tự.

1) Số số hạng là n 

Tổng bằng : \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}=378\\ \Rightarrow n\left(n+1\right)=756\\ \Rightarrow n\left(n+1\right)=27.28\\ \Rightarrow n=27\)

2) a) \(n+2⋮n-1\\ \Rightarrow n-1+3⋮n-1\\ \Rightarrow3⋮n-1\)

b) \(2n+7⋮n+1\\ \Rightarrow2\left(n+1\right)+5⋮n+1\\ \Rightarrow5⋮n+1\)

c) \(2n+1⋮6-n\\ \Rightarrow2\left(6-n\right)+13⋮6-n\\ \Rightarrow13⋮6-n\)

d) \(4n+3⋮2n+6\\ \Rightarrow2\left(2n+6\right)-9⋮2n+6\\ \Rightarrow9⋮2n+6\)

a) \(25⋮n+2\left(n\in Z\right)\)

\(\Rightarrow n+2\in\left\{-1;1;-5;5;-25;25\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;-1;-7;3;-27;23\right\}\)

b) \(2n+4⋮n-1\)

\(\Rightarrow2n+4-2\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow2n+4-2n+2⋮n-1\)

\(\Rightarrow6⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{-1;1;-2;2;-3;3;-6;6\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2;-1;3;-2;4;-5;7\right\}\)

c) \(1-4n⋮n+3\)

\(\Rightarrow1-4n+4\left(n+3\right)⋮n+3\)

\(\Rightarrow1-4n+4n+12⋮n+3\)

\(\Rightarrow13⋮n+3\)

\(\Rightarrow n+3\in\left\{-1;1;-13;13\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-4;-2;-15;10\right\}\)

a) n ϵ{−3;−1;−7;3;−27;23}

b) n ∈{0;2;−1;3;−2;4;−5;7}

c) n ϵ {−4;−2;−15;10}

Chọn C