a) Xét hai tam giác ABD và tam giác MNQ:

     AB = MQ (do \(\Delta ABC = \Delta MNP\)).

     \(\widehat {ABD} = \widehat {MNQ}\) (\(\widehat {ABD} = \widehat {MNQ}\)).

     BD = NQ (\(\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}NP\))

    BC = NP (do \(\Delta ABC = \Delta MNP\)).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta MNQ\)(c.g.c) nên AD = MQ ( 2 cạnh tương ứng)

b) Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên BC = NP ( 2 cạnh tương ứng) . Do đó, \(\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}NP\) hay DC = QP

Vì \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên AC = MP  ( 2 cạnh tương ứng) . Do đó, \(\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}MP\) hay EC = RP

Xét hai tam giác DEC và tam giác QRP:

DC = QP 

\(\widehat {ECD} = \widehat {RPQ}\)(\(\Delta ABC = \Delta MNP\))

EC = RP 

Vậy \(\Delta DEC = \Delta QRP\)(c.g.c) nên DE = QR ( 2 cạnh tương ứng)

Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.

Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).

Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).

     \(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác IDN và IDM có:

     ID chung;

     \(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);

     IN = IM.

Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)

\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);

 \(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà  \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).

Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.

Tương tự ta có:

IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: BC=2MN

hay BC=6(cm)

a: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

=>MI//BH

Xét ΔABH có

M là trung điểm của AB

MI//BH

Do đó: I là trung điểm của AH

b: Xét ΔABC có

P,N lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>PN là đường trung bình của ΔABC

=>PN//AB và PN=AB/2

Ta có: PN//AB

Q\(\in\)PN

Do đó: PQ//AB

Ta có: \(PN=\dfrac{AB}{2}\)

\(PN=\dfrac{PQ}{2}\)

Do đó: AB=PQ

Xét tứ giác ABPQ có

PQ//AB

PQ=AB

Do đó: ABPQ là hình bình hành

c: Ta có: NP//AB

M\(\in\)AB

Do đó:  NP//AM

Ta có: \(NP=\dfrac{AB}{2}\)

\(AM=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: NP=AM

Xét tứ giác AMPN có

AM//PN

AM=PN

Do đó: AMPN là hình bình hành

=>AP cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MN

nên O là trung điểm của AP

=>A,O,P thẳng hàng

1) 

- Xét tam giác EDC có : 

+ PE = PD (GT)

+ NE = NC (GT)

=>  PN là đường trung bình của tam giác EDC => \(PN=\frac{1}{2}CD\)  (1)

-Xét tam giác EAC có: 

+ NE = NC (GT )

+ ME = MA (GT )

=> NM là đường trung bình của tam giác EAC => \(MN=\frac{1}{2}AC\)  (2)

- Xét tam giác EAD có : 

+ ME = MA (GT)

+ PE =PD (GT )

=> MP là đường trung bình của tam giác EAD => \(MP=\frac{1}{2}AD\)  (3) 

-Từ 1 , 2 , 3 và AD = DC = CA (GT)

=> PN = NM = MP hay tam giác MNP đều