Ta thấy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x - y < 0;2y \ge 0\).

=> Chọn A.

Đáp án B loại vì \(3x + {y^3} < 0\) chứa \(y^3\).

Đáp án C loại vì \({y^2} + 3 < 0\) chứa \(y^2\).

Đáp án D loại vì \( - {x^3} + y < 4\) chứa \(x^3\).

a) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x < 0\) và \(y \ge 0\)

=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + {y^2} < 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa \({y^2}\))

c) Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì \(x + y + z < 0\) có 3 ẩn không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Ta có:

 \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < {3^2}\\{4^2}x + 3y < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < 9\\16x + 3y < 1\end{array} \right.\)

Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \( - 2x + y < 9\) và \(16x + 3y < 1\)

(1;1) không thuộc miền nghiệm vì 1+1=2>2 (Vô lý) => Loại A

(2;0) không thuộc miền nghiệm vì 2+0=2>2 (Vô lý) => Loại B

(3;2) thuộc miền nghiệm vì: 3+2 =5 > 2 (đúng) và \(3 - 2 = 1 \ge 1\) (đúng)

(3;-2) không thuộc miền nghiệm vì 3+ (-2)=1>2 (Vô lý) => Loại D

Chọn C.

Tham khảo:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không gạch chéo (bao gồm cạnh AB, tia Ay, Bx) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không gạch chéo (không bao gồm cạnh, các bờ) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

 c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 Miền không gạch chéo (miền tứ giác ABCD, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bước 1: Mở trang Geoebra

Bước 2: Nhập bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) vào ô

Và bấm enter, màn hình sẽ hiển thị như hình dưới. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) là miền được tô màu. Đường nét liền biểu thị miền nghiệm chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\).

Bước 3: Tiếp tục nhập từng bất phương trình còn lại như sau:

x+3y>-2; \(x \le 0\)(x<=0). Khi đó màn hình sẽ hiển thị như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ là miền được tô màu đậm nhất. Đường nét đứt biểu thị miền nghiệm không chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x + 3y =  - 2\). Đường nét liền \(x = 0\) (trục Oy) biểu thị các điểm nằm trên trục Oy cũng thuộc miền nghiệm.

a) Thay \(x = 0,y = 2\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge  - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3.0 + 2.2 \ge  - 6\\0 + 4.2 > 4\end{array} \right.\) (Đúng)

Thay \(x = 1,y = 0\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge  - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3.1 + 2.0 \ge  - 6\\1 + 4.0 > 4\left( {Sai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {0;2} \right)\) là nghiệm của hệ còn \(\left( {1;0} \right)\) không là nghiệm.

b) Thay \(x =  - 1,y =  - 3\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le  - 3\\ - 3x + 5y \ge  - 12\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \le  - 3\\ - 3\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) \ge  - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7 \le  - 3\\ - 12 \ge  - 12\end{array} \right.\) (Đúng)

Thay \(x = 0,y =  - 3\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le  - 3\\ - 3x + 5y \ge  - 12\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4.0 + \left( { - 3} \right) \le  - 3\\ - 3.0 + 5.\left( { - 3} \right) \ge  - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le  - 3\\ - 15 \ge  - 12\left( {Sai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ còn \(\left( {0; - 3} \right)\) không là nghiệm.

a) Trong cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ ba đường thẳng:

\({d_1}:x - 2y =  - 2\);

\({d_2}:7x - 4y = 16\)

\({d_3}:2x + y =  - 4\)

Thay tọa độ điểm O vào \(x - 2y\) ta được:

\(0 - 2.0 = 0 \ge  - 2\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(7x - 4y\) ta được:

\(7.0 - 4.0 = 0 \le 16\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(2x + y\)  ta được:

\(2.0 + 0 = 0 \ge  - 4\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

b)

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch bỏ chung của cả 3 miền nghiệm trên.

Chú ý

Ở câu a, có thể thay điểm O bằng các điểm khác.

a)

Xác định miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(y-x=  - 1\) đi qua A(1;0) và B(0;-1)

+ Vì \(0-0= 0 > - 1\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn BPT \(y - x <  - 1\)

Do đó, miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của BPT \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (không kể trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y < 0\) là nửa mặt phẳng dưới Ox (không kể trục Ox).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không gạch (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

b)

Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (kể cả trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (kể cả trục Ox).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(2x + y = 4\) đi qua A(2;0) và B(0;4)

+ Vì \(2.0 + 0 = 0 < 4\) nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn BPT \(2x + y \le 4\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

c)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (kể cả trục Oy).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 5\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x + y = 5\)

+ Vì \(0 + 0 = 0 < 5\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y > 5\).

Do đó, miền nghiệm của BPT \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x - y = 0\)

+ Vì \(1 - 0 = 1 > 0\) nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x - y < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu trắng (không kể d và d’)

Hình 12a

Ta thấy các đường thẳng trên hình là \(y = 1;x = 2;y =  - x + 1\)

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu c mà không cần xét tiếp.

Hình 12b.

Ta thấy các đường thẳng trên hình là \(y =  - 1;x =  - 3;x + y =  - 2\)

Từ các phương trình trên thì ta chọn luôn là câu a mà không cần xét tiếp