a)

Xác định miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(y-x=  - 1\) đi qua A(1;0) và B(0;-1)

+ Vì \(0-0= 0 > - 1\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn BPT \(y - x <  - 1\)

Do đó, miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của BPT \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (không kể trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y < 0\) là nửa mặt phẳng dưới Ox (không kể trục Ox).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không gạch (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

b)

Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (kể cả trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (kể cả trục Ox).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(2x + y = 4\) đi qua A(2;0) và B(0;4)

+ Vì \(2.0 + 0 = 0 < 4\) nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn BPT \(2x + y \le 4\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

c)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (kể cả trục Oy).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 5\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x + y = 5\)

+ Vì \(0 + 0 = 0 < 5\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y > 5\).

Do đó, miền nghiệm của BPT \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x - y = 0\)

+ Vì \(1 - 0 = 1 > 0\) nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x - y < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu trắng (không kể d và d’)

+ Biểu diễn miền nghiệm của BPT \(x - y \le 6\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:x - y = 6\) trên mặt phẳng tọa độ Õy

Bước 2: Lấy O(0;0) không thuộc d, ta có: \(0 - 0 = 0 \le 6\) => điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm

=> Miền nghiệm của BPT \(x - y \le 6\) là nửa mp bờ d, chứa gốc tọa độ.

+ Tương tự, ta có miền nghiệm của BPT \(2x - y \le 2\) là nửa mp bờ \(d':2x - y = 0\), chứa gốc tọa độ.

+ Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mp bên phải Oy (tính cả trục Oy)

+ Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mp phía trên Ox (tính cả trục Ox)

Biểu diễn trên cùng một mặt phẳng tọa độ và gạch bỏ các miền không là nghiệm của từng BPT, ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch) với \(A(0;6),B(\frac{8}{3};\frac{{10}}{3}),C(1;0)\)

b)

Thay tọa độ các điểm \(O(0;0),A(0;6),B(\frac{8}{3};\frac{{10}}{3}),C(1;0)\) và biểu thức \(F(x;y) = 2x + 3y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(0;0) = 2.0 + 3.0 = 0\\F(0;6) = 2.0 + 3.6 = 18\\F(\frac{8}{3};\frac{{10}}{3}) = 2.\frac{8}{3} + 3.\frac{{10}}{3} = \frac{{46}}{3}\\F(1;0) = 2.1 + 3.0 = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \min F = 0\),  \(\max F = 18\)

Vậy trên miền D, giá trị nhỏ nhất của F bằng 0, giá trị lớn nhất của F bằng \(18\).

Tham khảo:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

a) Vẽ các đường thẳng \(2x - 3y = 6;2x + y = 2\) (nét đứt)

Thay tọa độ điểm O vào các bất phương trình trong hệ.

Ta thấy: 2.0-3.0

=> O thuộc miền nghiệm của cả 2 bất phương trình

Miền nghiệm:

b)

Vẽ các đường thẳng

\(4x + 10y \le 20 \Leftrightarrow y =  - \frac{2}{5}x + 2\) (nét liền)

\(x - y = 4 \Leftrightarrow y = x - 4\)(nét liền)

\(x =  - 2\)(nét liền)

Thay tọa độ điểm O vào các bất phương trình trong hệ.

Ta thấy: 4.0+10.0-2

=> O thuộc miền nghiệm của cả 3 bất phương trình

Miền nghiệm:

c)

Vẽ các đường thẳng

\(x - 2y = 5 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - 5\) (nét liền)

\(x + y = 2 \Leftrightarrow y =  - x + 2\)(nét liền)

\(y = 3\)(nét liền)

Và trục Oy

Thay tọa độ O vào bất phương trình \(x - 2y \le 5\)

=> O thuộc miền nghiệm của bất phương trình trên.

Thay tọa độ O vào \(x + y \ge 2\)

=> O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình trên

Lấy phần bên phải trục Oy và bên dưới đường thẳng y=3

Miền nghiệm:

Tham khảo:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

a) Trong cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ ba đường thẳng:

\({d_1}:x - 2y =  - 2\);

\({d_2}:7x - 4y = 16\)

\({d_3}:2x + y =  - 4\)

Thay tọa độ điểm O vào \(x - 2y\) ta được:

\(0 - 2.0 = 0 \ge  - 2\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(7x - 4y\) ta được:

\(7.0 - 4.0 = 0 \le 16\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(2x + y\)  ta được:

\(2.0 + 0 = 0 \ge  - 4\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

b)

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch bỏ chung của cả 3 miền nghiệm trên.

Chú ý

Ở câu a, có thể thay điểm O bằng các điểm khác.

Tham khảo:

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=1 (nét đứt) đi qua (0;1) và (1;0)

+ Vì 0+0=0 < 1 nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bpt 

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\)

+ Vẽ đường thẳng d’: \(2x - y = 3\) đi qua (1;-1) và (0;-3)

+ Vì 2.0-0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không  đường thẳng d’).

a) Vẽ các đường thẳng \(x + 2y =  - 4\)(nét đứt) và \(y = x + 5\) (nét liền)

Thay tọa độ O vào \(x + 2y <  - 4\) ta được: \(0 + 2.0 <  - 4\) (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

Thay tọa độ O vào \(y \ge x + 5\) ta được: \(0 \ge 0 + 5\) (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

\(x + 2y = -4 => y = \frac{-4 - x}{2} \)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(x + 2y =  - 4\) và \(y = x + 5\), ta được:

\( \frac{-4 - x}{2} = x + 5 \\ x = \frac{-14}{3} \\ => y = \frac{1}{3} \)

Miền nghiệm của hệ:

Từ hình vẽ ta thấy miền nghiệm của hệ là \(d_3\)

b) Vẽ các đường thẳng \(4x - 2y = 8\)(nét đứt) và hai trục (nét liền)

Thay tọa độ O vào \(4x - 2y > 8\) ta được: \(4.0 - 2.0 > 8\) (Sai)

=> Gạch đi phần chứa O.

Với \(x \ge 0\) thì gạch phần bên trái Oy

Với \(y \le 0\) thì gạch bên trên Ox

Miền nghiệm của hệ:

Tham khảo:

Vẽ đường thẳng \(d:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 + 0 - 3 =  - 3 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng \(d': - 2x + y + 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(1; - 1)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \( - 2.0 + 0 + 3 = 3 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d'\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.