3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n(n +1)3

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ...+ n(n + 1)[(n + 2) - (n -1)]

= 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - n(n + 1)(n - 1)

= n(n + 1)(n + 2)

=> S N(N+1)(n+2)/3

 mk nhanh nhat nhat  ban !!! 

ta thấy mỗi hạng tử của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp , khi đó:

gọi a1=1.2=>3a1=1.2.3=>3a1=1.2.3-0.1.2

a2=2.3=>3a2=2.3.3=>3a2=2.3.4-1.2.3

a3=3.4=>3a3=3.3.4=>3a3=3.4.5-2.3.4

an-1=(n-1)n=>3an-1=3(n-1)n=>3an-1=(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n

an=n(n+1)=>3an=3n(n+1)=>3an=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

cộng các vế đẳng thức trên ta có:

3a1+3a2+...+3an-1+3an=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+...+(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =>3(a1+a2+...+an-1+an)=n(n+1)(n+2)

mà A=a1+a2+...+an-1+an nên 

\(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

(A) Mở bài :

- Mỗi mùa có một nét đẹp riêng và người ta thư­ờng hay xao xuyến nhất ấy là vào lúc giao mùa.

- Thời khắc ấy thư­ờng diễn ra những biến đổi tinh vi không chỉ ở thế giới của thiên nhiên mà còn ở cả thế giới của con ngư­ời.

- Với tôi khoảnh khắc giao mùa từ hè sang thu(từ đông sang xuân, xuân sang hạ…) để lại nhiều ấn tư­ợng và gợi niềm say mê hơn cả.

(B) Thân bài :

- Cảm nghĩ về thiên nhiên:

+ Nêu các dấu hiệu giao mùa(ví dụ mùa hè sang mùa thu: khí trời mát mẻ, ban đêm trời se lạnh không đủ rét để mặc một chiếc áo mùa đông nhưng lạnh­ đủ để ngư­ời ta cảm thấy rùng mình, hoa cúc trong các vư­ờn đua nhau nở, sen trong các ao úa tàn…)

+ Cảm giác của bản thân trư­ớc các dấu hiệu chuyển mùa của thiên nhiên (vui, buồn , nhớ nhung về một kỉ niệm tuổi thơ nào đó chẳng hạn…)

- Cảm nghĩ về đời sống con ngư­ời:

+ Nhịp điệu cuộc sống thay đổi ra sao?(ồn ã, sôi động hay tẻ nhạt)

+ Con ngư­ời: Vui tư­ơi, phấn khởi, hào hứng đợi chờ (sang xuân) hay thu mình lại, buồn hơn, suy tư­ hơn(thu sang đông)…

(C) Kết bài :

 Tóm lại, khoảnh khắc giao mùa là những đợt “trở mình” rất duyên của trời đất.

Cảm nhận những biến chuyển  lúc giao mùa ấy giúp ta mài sắc nhữ­ng giác quan, giúp tâm hồn ta sinh động và tinh tế hơn lên.

\(S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(S=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)

Đặt S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 99.100
 3S = 1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+98.99.3+99.100.3
3S= 1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+...+98.99(100-97)+99.100(101-98)
3S= 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...-97.98.99+99.100.101-98.99.100
3S = 99.100.101  3S = 3.33.100.101 
 S=33.100.101= 333300

Bạn rút gọn chéo đi 2 với 2 ,3 với 3 cứ như thế còn mỗi 1/100. k nhé

1/1.2+1/2.3+1/3.4+......+1/2003.2004=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/2003-1/2004

                                                          =1/1-1/2004

                                                          =2003/2004

1/1.2+1/2.3+1/3.4+.......1/2003.2004

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\)

\(=1-\frac{1}{2004}\)

\(=\frac{2003}{2004}\)

a)hình như =55

M =1/1.2+1/2.3+1/3.4+.......+1/2019.2020

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.......-1/2019+1/2019-1/2020

=1-1/2020

=2019/2020

Ta có : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

\(\Rightarrow\)3A = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2).....n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]

\(\Rightarrow\)3A= 1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+4.5.6-3.4.5+....+n.(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

\(\Rightarrow\)3A= (1.2.3-1.2.3)+(2.3.4-2.3.4)+....+[(n-1).n.(n+1)-(n-1)n(n+1)]+n.(n+1)(n+2)

\(\Rightarrow\)3A=n.(n+1)(n+2)

\(\Rightarrow\)A=\(\frac{\text{n.(n+1)(n+2)}}{3}\)

Tại sao có 3A

1.

A = (22.21.20 - 2.1.0) : 3 

A = 9240 : 3

A = 3080

3.A = 3080 x 3

3.A = 9240

A=1.2+2.3+3.4+.....+20.21

B= 1 mũ 2+2 mũ 2+ 3 mũ 3+....+20 mũ 2