a) Ta có: (n² + n - 1)² - 1

= ( n² + n - 1 + 1)(n² + n - 1 - 1)

= (n² + n)(n² + n - 2)

= n(n + 1)(n² + 2n - n - 2)

= n(n+ 1)[n(n + 2) - (n + 2)]

= n(n + 1)(n - 1)(n + 2)

Do n(n + 1)(n - 1)(n + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp 

nên 1 thừa số chia hết cho 2

        1 thừa số chia hết cho 3

          1 thừa số chia hết cho 4

mà (2, 3, 4) = 1

=> n(n + 1)(n - 1)(n + 2) \(⋮\)2.3.4 = 24

=> (n² + n - 1)² - 1 \(⋮\)24 \(\forall\)n \(\in\)Z

b) Do n chẵn => n có dạng 2k (k \(\in\)Z)

Khi đó, ta có: n³ + 6n² + 8n

= (2k)³ + 6.(2k)² + 8.2k

= 8k³ + 24k² + 16k

= 8k(k² + 3k + 2)

= 8k(k² + 2k + k + 2)

= 8k[k(k + 2) + (k + 2)]

= 8k(k + 1)(k + 2)

Do k(k + 1)(k + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

nên 1 thừa số chia hết cho 2

   1 thừa số chia hết cho 3

=> k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)2.3 = 6

=> 8k(k + 1)(k + 2) \(⋮\)8.6 = 48

Vậy n³ + 6n² + 8n \(⋮\)48 \(\forall\)n là số chẵn

2009^2010đồng dư với 1 (theo mod 2010)

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

BS là gì vậy bạn???

a) Xét 3 t/h của x :

+) Xét n là số lẻ => ( 5n + 7 ) là số chẵn => ( 5n + 7 ) ( 4n + 6 ) chia hết cho 2

+) Xét n là số chẵn => ( 4n + 6 ) là số chẵn => ( 5n + 7 ) ( 4n + 6 ) chia hết cho 2

+) Xét n bằng 0 => ( 4n + 6 ) là số chẵn => ( 5n + 7 ) ( 4n + 6 ) chia hết cho 2

Vậy ta có đpcm

b) C.m tương tự câu a :

+) Với n lẻ thì ko có thừa số nào là số chẵn => ko chia hết cho 2

+) Với n chẵn thì cx ko có thừa số nào là số chẵn => ko chia hết cho 2

+) Với n = 0 thì cx ko có thừa số nào là số chẵn => ko chia hết cho 2

Vậy ta có đpcm

P.s : chỉ cần mỗi t/h đầu là có thể đpcm rồi, nhưng để đầy đủ thì cứ làm cả ra nha

a,cách 1: ta có: (5n+7)(4n+6)=(5n+7)(2n+3).2 chia hết cho 2

Vậy (5n+7)(4n+6) chia hết cho 2

Cách 2: Ta thấy:4n+6 có chữ số tận cùng là số chẵn=>(5n+7)(4n+6) có chữ số tận cùng là số chẵn.

mà các số có chữ số tận cùng là số chẵn thì số đó chia het cho 

vậy (5n+7)(4n+6) chia het cho (đpcm)

b,Ta thấy :8n+1 co chu so tan cung la so le(vi 8n co chu so tan cung la so chan,ma chan+le=le)

                6n+5 co chu so tan cung la so le(vi 6n co chu so tan cung la so chan,ma chan+le=le)

từ 2 dieu tren=>(8n+1)(6n+5) co chu so tan cung la so le

vậy (8n+1)(6n+5) khong chia het cho 2 voi moi stn n

                      câu a bạn nên làm theo cách 2

đúng rồi

b) n³ + 6n² + 8n

= n( n² + 6n + 8)

= n( n² + 2n + 4n + 8)

= n[ n( n +2) + 4( n +2)]

= n( n +2)( n + 4)

Do n chẵn nên ta đặt : 2k = n

Ta có : 2k( 2k +2)( 2k +4)

= 2k.2( k +1)2( k +2)

= 8k( k + 1)( k +2)

Do : k;( k +1);( k +2) là 3 STN liên tếp sẽ chia hết cho 2,3

Suy ra : k( k + 1)( k +2) chia hết cho 6

Suy ra : 8k( k + 1)( k +2) chia hết cho 48

a) 24= 2.3.4

(n^2+n-1)^2-1 = (n^2-1+1+n).(n^2+n+1+1)

=(n^2+n).(n^2+n+2)=n.(n-1).(n-1).(n-2)

Tích của 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4

Mà U(2,3,4)=1 =>(n^2+n-1)^2 chia hết cho 2.3.4