từ các đỉnh A,B hạ các đường cao AE,BF vuông góc với CD

dễ chứng minh tứ giác ABFE là hình chữ  nhật

=>EF=AB=12cm

do ABCD là hình thang cân \(=>AD=BC,\angle\left(D\right)=\angle\left(C\right)\)

mà \(\angle\left(AED\right)=\angle\left(BFC\right)=90^O\)

\(=>\Delta ADE=\Delta BFC\left(ch-cgn\right)=>DE=FC=\dfrac{1}{2}.\left(DC-EF\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(18-12\right)=3cm\)

xét trong tam giác BFC vuông tại F

\(=>\)\(\cos75^o=\dfrac{FC}{BC}=>BC=11,6cm\)

pytago \(=>BF=\sqrt{BC^2-FC^2}=\sqrt{11,6^2-3^2}=11,2cm\)

\(=>S=\dfrac{BF\left(AB+DC\right)}{2}=....\) thay số

Kẻ `AH, CK` vuông góc `CD`.

Xét `\DeltaADH` và `\DeltaBCK` có:

`AH =CK` 

`\hatD=\hatC`

`AD=BC` 

`=> \DeltaADH=\DeltaBCK`

`=> DH=CK=x`

Có: `CD=DH+HK+KC = x+12+x=18 => x=3` (cm)

`tanC=(BK)/(CK) <=> tan75^@ = (BK)/3 => BK =6+3\sqrt3 (cm)`

`=> S=1/2 .(AB+CD) .BK = 90+45\sqrt3 ≈ 168 (cm^2)`

Kẻ AH và BK vuông góc với CD ta có:

AH//BK mà AB//HK nên ABKH là hình bình hành

Ta có góc H = góc K = 90 độ suy ra hình bình hành ABKH là hình chữ nhật

Suy ra HK=AB=2 (cm) nên DH+CK=CD-HK=5-2=3 (cm)

Xét tam giác AHD và tam giác BKC ta có:

góc H = góc K =90 độ

góc D = góc C (ABCD là hình thang cân)

AD=BC (ABCD là hình thang cân) 

Do đó tam giác AHD = tam giác BKC ( cạnh huyền - góc nhọn) 

Suy ra DH=CK (2 cạnh tương ứng)

Suy ra DK= 3/2=1.5

Ta lại có góc DAH + góc HAB = góc A

nên góc DAH = góc A - góc HAB = 127-90= 37 độ

tan góc DAH = \(\frac{DH}{AH}\)  suy ra AH= \(\frac{DH}{\tan DAH}\)

                                                =\(\frac{1,5}{\tan37}\approx2\left(cm\right)\)

S_ABCD = \(\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AH}{2}=\frac{\left(2+5\right)\cdot2}{2}=7\left(cm^2\right)\)

Kẻ \(AH;BK\) vuông góc với DC (H,K thuộc DC)

Xét \(\Delta\) AHD và \(\Delta\)BKC:

\(\widehat{AHD}=\widehat{BKC}=90^0\)

AD=BC( do ABCD là hình thang cân)

\(\widehat{D}=\widehat{C}\) (Hai góc cùng kề một đáy trong htc)

nên \(\Delta\)AHD=\(\Delta\)BKC(ch-gn) \(\Rightarrow DH=KC\)

Có AB//DC và AH//BK => ABKH là hbh => AB=HK

Có \(DH+HK+KC=DC\) \(\Leftrightarrow2KC+AB=DC\Leftrightarrow KC=\dfrac{50-14}{2}=18\) (cm)

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông CDB có:

\(BK^2=DK.KC\Leftrightarrow BK=\sqrt{DK.KC}=\sqrt{\left(DC-KC\right).KC}=24\)  (cm)

Diện tích hình thang là: \(S=\dfrac{1}{2}BK\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}.24\left(14+50\right)=768\) (cm²)