HISINOMA KINIMADO lớp 9 bây giờ tụi anh mới được học phần nguyên :v

Bài 3:

\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ad+a^2+bd+ab=bc+c^2+bd+dc\)

\(\Leftrightarrow ad+a^2+ab-bc-c^2-dc=0\)

\(\Leftrightarrow d\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+b+c+d\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=c\\a+b+c+d=0\end{matrix}\right.\)( đpcm )

a) \(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{1}{2012^2}-1\right)\)(có 1006 số hạng nên tích của A là số dương)

\(\Rightarrow A=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{1}{2012^2}\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{2^2-1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2-1}{3^2}\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{2012^2-1}{2012^2}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1\cdot3}{2^2}\cdot\frac{2\cdot4}{3^2}\cdot\cdot\cdot\frac{2011\cdot2013}{2012^2}\)

\(\Rightarrow A=\text{​​}\frac{2013}{2\cdot2012}=\frac{2013}{4024}\)

b,ấp dụng tính chất dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a1-1}{100}\) =.....=\(\frac{a100-100}{1}\) =\(\frac{\left(a1+...+a100\right)-\left(1+...+100\right)}{100+99+..+1}\) = \(\frac{5050}{5050}\)  = 1

từ \(\frac{a1-1}{100}\) = 1  suy ra :a1-1=100 =) a1=101

........................................................................

từ \(\frac{a100-100}{100}\) = 1 suy ra: a100-100=1 =) a100=101

vậy a1=a2=a3=...=a100=101

Cho tam giác ABC vuông ở A(AB < AC), đường cao AH, biết AB = 6cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AB, AC, BC theo thứ tự ở D, E và F biết DE = 5cm, EF = 4cm. Chứng minh:

a) Tam giác FEC đồng dạng với tam giác FBD

b) Tam giác AED đồng dạng với tam giác HAC

c) Tính BC, AH, AC

\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{100}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{a_1+a_2+...+a_{100}}=1\)\(\Rightarrow\)\(a_1=a_2=...=a_{100}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{100}^2}{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)^2}=\frac{100a_1^2}{100^2a_1^2}=\frac{1}{100}\)

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=\frac{a_3-3}{98}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=\frac{a_1-1+a_2-2+a_3-3+...+a_{100}-100}{100+99+98+...+1}\)

\(=\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)-\left(1+2+3+...+100\right)}{5050}=\frac{10100-5050}{5050}=1\)

\(\text{Suy ra : }\frac{a_1-1}{100}=1\Rightarrow a_1-1=100\Rightarrow a_1=101\)

\(\frac{a_2-2}{98}=1\Rightarrow a_2-2=98\Rightarrow a_2=101\)

..................

tương tự như thế ta được;

\(a_1=a_2=...=a_{100}=101\)

áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a1}{a2}=\frac{a2}{a3}=\frac{a3}{a4}=.....=\frac{an}{an+1}=\frac{a1+a2+a3+....+an}{a2+a3+a4+...+an+1}\)

\(\frac{a1}{a2}\cdot\frac{a2}{a3}\cdot\frac{a3}{a4}\cdot...\cdot\frac{an}{an+1}=\frac{a1}{an+1}=\left(\frac{a1}{a2}\right)^n=\left(\frac{a1+a2+a3+....+an}{a2+a3+a4+...+an+1}\right)^n\)(vì từ 1 đến n có n chữ số)

=> đpcm