Để \(\frac{4n+3}{3n+1}\) thuộc Z thì 4n + 3 chia hết cho 3n + 1

\(\Rightarrow3\left(4n+3\right)⋮3n+1\)

\(\Rightarrow12n+9⋮3n+1\)

\(\Rightarrow\left(12n+4\right)+5⋮3n+1\)

\(\Rightarrow4\left(3n+1\right)+5⋮3n+1\)

\(\Rightarrow5⋮3n+1\)

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

+) 3n + 1 = 1\(\Rightarrow n=0\) ( chọn )

+) \(3n+1=-1\Rightarrow n=\frac{-2}{3}\) ( loại )

+) \(3n+1=5\Rightarrow n=\frac{4}{3}\) ( loại )

+) \(3n+1=-5\Rightarrow n=-2\)

Vậy n = 0 hoặc n = -2

a) 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

=(3ⁿ⁺²+3ⁿ)-(2ⁿ⁺²-2ⁿ⁾

=3ⁿ(3³+1)-2ⁿ(2²+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5

Vì 2.5 chia hết cho 10 nên 2ⁿ.5 cũng chia hết cho 10

    3ⁿ.10 chia hết cho 10 nên 

3ⁿ.10-2ⁿ.5 chia hết cho 10

=>3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ chia hết cho 10

b)

  3ⁿ⁺³+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²

=3ⁿ⁺¹(3²+1)+2ⁿ⁺²(2+1)

=3ⁿ⁺¹.2.5+2ⁿ⁺¹.3

=3.2.3ⁿ.5+2.3.2ⁿ⁺¹

=3.2(3ⁿ.5+2ⁿ⁺¹) chia hết cho 6

| x-2/3| = 1/3+2/5

             = 11/15

=> x-2/3=11/15          hoặc x-2/3=-11/15

            x= 7/5                      x       = -1/15

k cho mk nha

\(\left|x-\frac{2}{3}\right|-\frac{2}{5}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\left|x-\frac{2}{3}\right|=\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\Rightarrow x-\frac{2}{3}=\frac{11}{15}\\x-\frac{2}{3}=\frac{-11}{15}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\Rightarrow x=\frac{7}{15}\\x=\frac{-1}{15}\end{cases}}\)

\(\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1\right)+\left(x-2\right).x^2.\left(1-2x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1\right)+\left(x-2\right)\left(x^2-2x^3\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1+x^2-2x^3\right)\)

\(=\left(x-2\right).1\)

\(=x-2\)

Ta có:

\(\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1\right)+\left(x-2\right)x^2\left(1-2x\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1\right)+\left(x-2\right)\left(x^2-2x^3\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left[\left(2x^3-x^2+1\right)+\left(x^2-2x^3\right)\right]\)

\(=\left(x-2\right)\left(2x^3-x^2+1+x^2-2x^3\right)\)

\(=\left(x-2\right).1\)

\(=x-2\)

Ta thấy :

3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ⋮ 7 <=> 9 . ( 3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ) ⋮ 7

<=> 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3³ⁿ + 9 ⋮ 7

Vì 3⁶ⁿ⁺¹ ≡ 3 ( mod 7 ) , suy ra 3⁶ⁿ⁺¹ + 9 ≡ 5 ( mod 7 )

Do đó để 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3 + 9 ⋮ 7 thì k . 3³ⁿ ≡ 5 ( mod 7 )

Từ đó ta chứng minh được : Nếu n chẵn thì k ≡ 5 ( mod 7 ) , còn nếu lẻ thì k ≡ -5 ( mod 7 )

\(3^{x+1}-2.3^x=243\\ \Rightarrow3^x.3-2.3^x=243\\ \Rightarrow3^x=3^5\\ \Rightarrow x=5\)

\(d.3^{x+1}-2.3^x=243\)

Bài 2: 

Câu a) Bn chia ra thành 2 TH

Khi \(x-2y=5\)và khi \(x-2y=-5\)

Câu b) thì dễ rồi đấy

Câu c) Bn vào link này https://dainghia2004.wordpress.com/2016/12/02/ti-le-thuc-day-ti-so-bang-nhau/

Ở đó có các dạng bài về tính chất dãy tỉ số = nhau đó

         \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n.9-2^{n-1}.8+3^n-2^{n-1}.2\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^{n-1}\left(8+2\right)\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)\) \(⋮\) \(10\)