Gọi cái cần chứng minh là ^(*)

+) Với n = 1 thì ^(*) = 4 + 15 - 1 = 18 chia hết cho 9

+) Giả sử ^(*) đúng với n = k => 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9 thì ta cần chứng minh ^(*) luôn đúng với k + 1 tức 4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1 chia hết cho 9

Thật vậy:

4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1

= 4.4^k + 15k + 15 - 1

= 4.4^k + 15k + 18 - 4 - 45k

= 4.(4^k + 15k - 1) - 45k - 18

Vì 4.(4^k + 15k - 1) chia hết cho 9; 45k chia hết cho 9 và 18 cũng chia hết cho 9

=> 4.(4^k + 15k - 1) - 45k - 18 chia hết cho 9 

hay 4^{k + 1} + 15(k + 1) - 1 chia hết cho 9

=> Phương pháp quy nạp được chứng minh

Vậy 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9 với mọi n thuộc N*

chứng minh mà ghi kết quả

Bài 1:

a) n+4 chia hết cho n-13

=> n-13+17 chia hết cho n-13

=> 17 chia hết cho n-13

=> n-13 \(\in\) Ư(17) = {1;-1;17;-17}

=> n \(\in\) {14;12;30;-4}

Vì n \(\in\) N nên n \(\in\) {14;20;30}

b) n-5 chia hết cho n-11

=> n-11+6 chia hết cho n-11

=> 6 chia hết cho n-11

=> n-11 \(\in\) Ư(6) = {1;-1;2;-2;3;-3;6;-6}

=> n \(\in\) {12;10;13;9;14;8;17;5}

Bài 2:

Để \(\overline{34x5}\) chia hết cho 9

=> 3+4+x+5 chia hết cho 9

=> 12+x chia hết cho 9

=> x = 7

chả có j mà ngồi cười như thật!

Đặt \(A=6^{2n+1}+5^{n+2}\)

Với n=0

=>\(A\left(0\right)=6^{2.0+1}+5^{0+2}=6+5^2=31\) chia hết cho 31

Giả sử n=k thì A sẽ chia hết cho 31

=>\(A\left(k\right)=6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31

Chứng minh n=k+1 cũng chia hết cho 31 hay \(A\left(k+1\right)=6^{2\left(k+1\right)+1}+5^{\left(k+1\right)+2}\) chia hết cho 31

 thật vậy

\(A\left(k+1\right)=6^{2k+3}+5^{k+3}=6^{2k+1}.36+5^{k+2}.5\)

\(=5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+3.6^{2k+1}\)

Theo giả thiết ta có

\(6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31

=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)\) chia hết cho 31

mà\(31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31

=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31

Hay \(A\left(k+1\right)\) chia hết cho 31

Vậy \(^{6^{2n+1}+5^{n+2}}\) chia hết cho 31

6n + 9 chia hết cho 4n - 1

4(6n + 9) chia hết cho 4n - 1

4.6n + 36 chia hết cho 4n - 1

6.4n - 6 + 6 + 36 chia hết cho 4n - 1

6.(4n - 1) + 42 chia hết cho 4n - 1

=> 42 chia hết  cho 4n - 1

=> 4n - 1 thuộc Ư(42) = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}

Ta có bảng sau :

Vì n >= 1

=> n = {1 ; 2}

Dùng phương pháp quy nạp toán học em nhé.

Với n = 1 ta có: 4¹ + 15.1 - 1 = 18 ⋮ 9 ( đúng)

Giả sử 4ⁿ + 15n - 1 ⋮ 9 với n = k (kϵ N)

Ta cần chứng minh 4ⁿ + 15n - 1 ⋮9 với n = k + 1

                        ⇔ 4^k+1 + 15(k+1) - 1 ⋮ 9

Thật vậy ta có:

    4^k + 15k - 1 ⋮ 9 ( theo giả thuyết)

⇔ 4.( 4^k + 15k - 1) ⋮ 9

⇔  4^k+1 + 60k - 4 ⋮ 9

⇔ 4^k+1 + 15k + 45k  + 15 - 1 - 18 ⋮ 9

⇔ 4^k+1 + 15k + 15 - 1+ 45k - 18 ⋮ 9

⇔ 4^k+1 + 15(k+1) - 1 + 45k - 18 ⋮ 9

⇔ 4^k+1 + 15(k+1) - 1 ⋮ 9 ( đpcm)

Vậy 4ⁿ + 15n - 1 ⋮ 9 ∀ n ϵ N

 mấy anh chị giúp em với ạ

bạn k đi rồi mik giải cho mik biết cách giải bài này đó

Ta có: 1+2+3+4+...+9 = (1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5) + 9 = 9 + 9 + 9 + 9 +9 =9.5= 45 chia hết cho 9

=> ................

Xét n=0 => 6²ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺² = 31chia hết 31
Xét n=1 => 6²ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺² = 341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 6^2k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 6^2k+3 + 5^k+3
Ta có 6^2k+1 + 5^k+2 = 36^k.6+5^k.25 chia hết 31
<=> 6^2k+3 + 5^k+3 = 36^k.216+5^k.125
Xét hiệu : 6^2k+3 + 5^k+3 − 6^2k+1 − 5^k+2 = 36^k.216+5^k.125−36^k.6−5^k.25
= 36^k.210+5^k.100 = 36^k.207+5^k.93−7(36^k−5^k)
Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36^k−5^k chia hết 36 - 5 = 31
=> 6²ⁿ⁺³ + 5^k+3 − 6^2k+1 − 5^k+2 chia hết 31.

Mà 6^2k+1 + 5^k+2 chia hết 31 nên 6^2k+3 + 5^k+3 chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm 

Mình dùng đồng dư được không bạn