Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=4\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x+y+z=2\\x+y+z=-2\end{cases}}\)

+ \(x+y+z=2\)

Thay vào Pt (1)

=> \(xy+z\left(2-z\right)=1\)

 => \(xy=\left(z-1\right)^2\)=> \(x,y,z\ge0\)( do \(x+y+z=2>0\))

Mà \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{2-z}{2}\right)^2\)

=> \(z-1\le\frac{2-z}{2}\)=> \(z\le\frac{4}{3}\)

Hoàn toàn TT => \(x,y,z\le\frac{4}{3}\)

+ \(x+y+z=-2\)

=> \(xy+z\left(-2-z\right)=1\)

=> \(xy=\left(z+1\right)^2\)=> \(x,y,z\le0\)( do \(x+y+z=-2< 0\))

Mà \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{-2-z}{2}\right)^2\)

=> \(\left(z+1\right)^2\le\left(\frac{z+2}{2}\right)^2\)

=> \(z+1\ge\frac{-z-2}{2}\)=> \(z\ge-\frac{4}{3}\)

TT => \(x,y,z\ge-\frac{4}{3}\)

Vậy \(-\frac{4}{3}\le x,y,z\le\frac{4}{3}\)

a/ \(\hept{\begin{cases}mx+y=2m\\x+my=m+1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(m+1\right)=3m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)=\frac{3m+1}{m+1}=3-\frac{2}{m+1}\)

Vì x, y nguyên nên (m + 1) phải là ước nguyên của 2.

b/ \(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x+my=2m-1\\mx-y=m^2-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x+my=2m-1\left(1\right)\\y=mx-m^2+2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left(m+1\right)x+m\left(mx-m^2+2\right)=2m-1\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+m+1\right)\left(x-m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=m-1\\y=2-m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=\left(m-1\right)\left(2-m\right)=-m^2+3m-2\le\frac{1}{4}\)

2/ a/ 

\(\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y+\sqrt{y-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}\\y-\sqrt{x+\sqrt{x-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{\left(\sqrt{y-\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\\y-\sqrt{\left(\sqrt{x-\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\y-\sqrt{x-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y-\frac{1}{4}}=1\\y-\sqrt{x-\frac{1}{4}}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2x+1=y-\frac{1}{4}\left(1\right)\\y^2-2y+1=x-\frac{1}{4}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) ta được

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)

Làm nốt

Câu 2/b Hệ chỉ có 2 cái thôi hả

bn lm đúng r kìa

Mình có nghĩ ra cách này mấy bạn xem giúp mình ạ,

Với \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\end{cases}}\) ta có:

\(P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x-y}+\frac{2.1}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số \(x-y\)và \(\frac{2}{x-y}\)không âm (vì x>y)

\(P\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Vậy minP = \(2\sqrt{2}\)<=> Dấu "=" xảy ra 

                                    <=> \(x-y=\frac{2}{x-y}\)

                                    <=> \(\left(x-y\right)^2=2\)

                                     <=>  \(x-y=\sqrt{2}\)(vì x - y >0)

Kết hợp với xy = 1 ta có:

\(\hept{\begin{cases}x-y=\sqrt{2}\\xy=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x+\left(-y\right)=\sqrt{2}=S\\x.\left(-y\right)=-1=P\end{cases}}\)

Xét \(S^2-4P=\left(0\sqrt{2}\right)^2-4.\left(-1\right)=2+4=6>0\)

Vậy x và -y là 2 nghiệm của phương trình:

\(x^2-\sqrt{2}x+\left(-1\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{cases}}\)

Vậy:  \(x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)  và  \(y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)

hoặc  \(x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)và \(y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)

Trả lời nhanh câu hỏi này giùm tớ nào ?                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

\(P=\frac{1}{xy-xyz-z}+\frac{1}{yz-xyz-x}+\frac{1}{xz-xzy-y}\)  .Do xyz=-z =>-xyz=1 và x+y+z=0 . Thế vào P ta được \(P=\frac{1}{xy+1+x+y}+\frac{1}{yz+1+y+z}+\frac{1}{xz+1+x+z}\)\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\) =\(\frac{z+1+x+1+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\) 

\(P=\frac{3}{xyz+z+xz+yz+xy+1+x+y}\) =\(\frac{3}{xy+yz+xz}\) (Do x+y+z=0; xyz=-1)

x+y+z=0 => (x+y+z)²=0 => x²+y²+z² +2(xy+yz+xz)=0 => 2(xy+yz+xz)=-6 => xy+yz+xz=-3 Thế vào P ta được :

\(P=\frac{3}{-3}=-1\) . Chúc bạn học tốt

Hình như bạn ghi thiếu đề r . Còn xyz=-1 nữa