Lời giải:

Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Lời giải:

Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Toán lớp 6? -_-

\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)

*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)

*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)

và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)}=21\)

\(\Rightarrow P\ge9+21=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)