Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Ta có: 2xy + x - 2y = 4

=> 2y(x - 1) + x = 4

=> 2y(x - 1) + x - 1 = 3

=> 2y(x - 1) + (x - 1) = 3

=>  (x - 1).(2y + 1) = 3

=> x-1 và 2y+1 là Ư(3)={-3;-1;1;3}

Ta có bảng:

x(2y+1)-(2y+1)= 4-1

(x-1)(2y+1)=3

Bạn tự làm tiếp nhé.

Ta có :

2xy + x - 2y = 4

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + x = 4

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + x - 1 = 3

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + ( x - 1 ) = 3

\(\Rightarrow\) ( x - 1 ) . ( 2y + 1 ) = 3

\(\Rightarrow\) x - 1 và 2y + 1 là Ư(3) = { - 3 ; - 1 ; 1 ; 3 }

Ta có bảng :

Vậy ...

2xy+x-2y=4

x(2y+1)-2y=4

x(2y+1)-2y-1=3

x(2y+1)-(2y+1)=3

(x-1)(2y+1)=3

Vì x;y là số nguyên => x-1;2y+1 là số nguyên

                               => x-1;2y+1   Ư(3)

Ta có bảng:

Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (2;1) ; (4;0) ; (-2;-1) ; (0;-2).

a: \(\Leftrightarrow\left(x,y-3\right)\in\left\{\left(1;15\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(15;1\right);\left(-1;-15\right);\left(-3;-5\right);\left(-5;-3\right);\left(-15;-1\right)\right\}\)

hay \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;18\right);\left(3;8\right);\left(5;6\right);\left(15;4\right);\left(-1;-12\right);\left(-3;-2\right);\left(-5;0\right);\left(-15;2\right)\right\}\)

\(\dfrac{1}{2}\)y hay \(\dfrac{1}{2y}\) thế em ơi???