Vì 361=19.19

     Mà (3x-7y)(5x+y) chia hết cho 19

       Vậy suy ra:(3x-7y)(5x+y) sẽ chia hết cho 361

Vì 361 =19.19

Mà (3x-7y)(5x+y) chia hết cho 19

Vậy suy ra (3x-7y)(5x+y) sẽ chia hết cho 361

a) Ta có:

\(8^5+2^{11}=34816\)

Phân tích ra thừa số nguyên tố số bằng: \(34816=2^{11}.17\)mà \(17⋮17\Leftrightarrow2^{11}.17⋮17\)

\(\Leftrightarrow34816⋮17\Leftrightarrow\left(8^5+2^{11}\right)⋮17\)

b) \(8^7-2^{18}=1835008\)

Phân tích ra thừa số nguyên tố số bằng: \(1835008=2^{18}.7=2^{17}.14\)mà \(14⋮14\Leftrightarrow2^{17}.14⋮14\Leftrightarrow2^{18}.7⋮14\)

\(\Leftrightarrow1835008⋮14\Leftrightarrow\left(8^7-2^{18}\right)⋮14\)

Lời giải : a/ Vì 8⁵= (2³)⁵ = 2¹⁵ nên Ta có: 8⁵+2¹¹ = 2¹⁵+2¹¹ = 2¹¹.(2⁴+1) = 2¹¹.17 chia hết cho 17

               b/  Vì 8⁷ = (2³)⁷ = 2²¹ nên  8⁷- 2¹⁸ = 2²¹ – 2¹⁸ = 2¹⁸(2³ – 1) = 2¹⁸.7 = 2¹⁷.14 chia hết cho 14

               c/ Vì (9x + 13y) chia hết cho 19 nên 2.(9x + 13y) chia hết cho 19.

                Tức là (18x + 26y) chia hết cho 19 . Ta có 18x + 26y = 19x – x + 19y + 7y = 19(x+y) +(7y – x)     

                chia hết cho 19, mà 19(x+y) chia hết cho 19 nên (7y – x) chia hết cho 19

Chúc Mạnh Châu học tập ngày càng giỏi nhé. Học thật tốt lý thuyết, nhớ công thức và vận dụng công thức linh hoạt.

Ta có: \(5x+2y⋮17\)

\(\Leftrightarrow5x+2y+17\left(x+y\right)⋮17\)

\(\Leftrightarrow22x+19y⋮17\)

\(\Leftrightarrow\left(22x+19y\right)-\left(5x+2y\right)6⋮17\)

\(\Leftrightarrow-8x+7y⋮17\)

\(\Leftrightarrow9x+7y⋮17\)( đpcm)

Đặt A = 20y - 14x; B = 4x - 3y

Xét biểu thức: 20B + 3A = 20.(4x - 3y) + 3.(20y - 14x)

                                   = (80x - 60y) + (60y - 42x)

                                  = 80x - 60y + 60y - 42x

                                  = 38x

+ Nếu A chia hết cho 19

Do A chia hết cho 19 nên 3A chia hết cho 19 mà 38x chia hết cho 19 => 20B chia hết cho 19

Mà (19,20)=1 => B chia hết cho 19

+ Nếu B chia hết cho 19

Do B chia hết cho 19 nên 20B chia hết cho 19 mà 38x chia hết cho 19 => 3A chia hết cho 19

Mà (3,19)=1 => A chia hết cho 19

Chứng tỏ 20y - 14x chia hết cho 19 <=> 4x - 3y chia hết cho 19

Đặt A = 20y - 14x; B = 4x - 3y

Xét biểu thức: 20B + 3A = 20.(4x - 3y) + 3.(20y - 14x)

                                   = (80x - 60y) + (60y - 42x)

                                  = 80x - 60y + 60y - 42x

                                  = 38x

+ Nếu A chia hết cho 19

Do A chia hết cho 19 nên 3A chia hết cho 19 mà 38x chia hết cho 19 => 20B chia hết cho 19

Mà (19,20)=1 => B chia hết cho 19

+ Nếu B chia hết cho 19

Do B chia hết cho 19 nên 20B chia hết cho 19 mà 38x chia hết cho 19 => 3A chia hết cho 19

Mà (3,19)=1 => A chia hết cho 19

Chứng tỏ 20y - 14x chia hết cho 19 <=> 4x - 3y chia hết cho 19

Chọn dãy

1; 11; 111; ... ;111...1 (số cuối có 20 c/s 1)

Chắc chắn trong dãy có 2 số có cùng số dư khi chia cho 19

2 số đó là

111..1(a c/s 1); 11..1(b c/s 1)                   [1< a < b < 20]

=>111..1 - 11..1 chia hết cho 19                                         [b c/s 1 - a c/s 1]

=>111...100...0 chia hết cho 19                                          [b - a c/s 1 ; a c/s 0]

=>11..1 x 10^a chia hết cho 19                                             [b-a c/s 1]

Mà (19;10)=1 =>(19;10^a)=1

=> 111..1 chia hết cho 19 với b-a c/s 1

Câu 3

Giả Sử: k = 4n

=>19⁴ⁿ - 1 = (...1) - 1 = (...0) chia hết cho 10

Vậy có thể tìm đc 1 STN k chia hết cho 10

Đặt A=6(x+7y)−(6x+11y)

=6x+42y−6x−11y

=3y

Do 31y⋮31

6x+11y⋮31⇒6(x+7y)⋮31

Vì 6(x+7y)⋮31⇒x+7y⋮31

Vậy nếu 6x+11y⋮31⇒x+7y⋮31(Đpcm)

đặt A=6(x+7y)-(6x+11y)

=6x +42y-6x-11y

=31y

do 31y chia hết cho 31

6x+11y chia hết cho 31=>6(x+7y) chia hết cho 31

do (6,31)=1=>x+7y chia hết cho 31

vậy nếu 6x+11y chia hết cho 31 thì x+7y cũng chia hết cho 31

Vì \(19^{74}+74^{19}⋮15\rightarrow19^{74}+74^{19}⋮3\) và 5

Vì \(19^n\)luôn luôn chia 3 rư 1\(\rightarrow\)19=3k+1

Xét : \(74^1\)/3 rư 2 ,\(74^2\)/3 rư 1

\(74^3\)/3 rư 2,\(74^4\)/3 rư1

\(\rightarrow\)\(74^{19}\)chia 3 rư 2

\(\Rightarrow\)\(74^{19}+19^{74}\)chia hết cho 3

tiếp :

Xét : 19 chia 5 rư 4, \(19^2\) chia 5 rư 1

\(19^3\)chia 5 rư 4, \(19^4\)chia 5 rư 1

\(\rightarrow\)\(19^{74}\)chia 5 rư 1

Xét :\(74^{ }\) chia 5 rư 4, 74^2 chia 5 rư 1

74^3 chia 5 rư 4, 74^4 chia 5 rư 1

\(\rightarrow\)74^19 chia 5 rư 4

\(\Rightarrow\)19^74+74^19 chia hết cho 5

Vì 19^74+74^19 đều chia hết cho 3 và 5

\(\Leftrightarrow\)19^74+74^19 chia hết cho 15

Ta có :

 \(19^{74}=\left(3.6+1\right)^{74}\overline{=}1\left(mod3\right)\)

\(74^{19}=\left(3.25-1\right)^{19}\overline{=}-1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow19^{74}+74^{19}\overline{=}1+\left(-1\right)=0\left(mod3\right)\)

Hay \(19^{74}+74^{19}⋮3\)(1)

Ta lại có : \(19^{74}+74^{19}=\overline{.....1}+\overline{......4}=\overline{......5}⋮5\)(2)

Vì \(\left(3;5\right)=1\) nên từ (1) ; (2) \(\Rightarrow19^{74}+74^{19}⋮15\)(đpcm)