A,B cùng phía so với d.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d

MA+MB=MA'+MB>=A'B

Dấu = xảy ra khi A',M,B thẳng hàng

=>M là giao của A'B với d

Gọi d' là đường đi qua A và vuông góc d

d: 2x-y-3=0

=>d': x+2y+c=0

Thay x=0 và y=-3 vào (d'),ta được:

0+2*(-3)+c=0

=>c=6

=>d': x+2y+6=0

Gọi H là giao của d' và d

Tọa độ H là:

x+2y=-6 và 2x-y=3

=>x=0 và y=-3

H là trung điểm của AA' nên ta có:

0+x=0 và y-3=-6

=>x=0 và y=-3

=>A'(0;-3)

mà B(1;3) nên A'B có VTPT là (-6;1)

Phương trình A'B là:

-6(x-1)+1(y-3)=0

=>-6x+6+y-3=0

=>-6x+y+3=0

Tọa độ M là:

-6x+y=-3 và 2x-y=3

=>x=0 và y=-3

Đáp án D

Do M thuộc d nên M( x; 2x+ 3)

Suy ra:

Do đó:

nhỏ nhất khi và chỉ khi: f(x) = 45x²+ 78x + 34  nhỏ nhất

Đề kiểu gì mà cho điểm A nằm ngay trên đường thẳng d như vậy nhỉ?

Theo BĐT tam giác ta có:

\(MA+MB\ge AB\)

Dấu "=" xảy ra khi M, A, B thẳng hàng, hay M là giao điểm của AB và d

Nhưng do A nằm trên d nên giao điểm của AB và d chính là A

Vậy M trùng A, hay M có tọa độ \(M\left(3;4\right)\)

//Ko cần tính toán bất kì 1 bước nào hết, chỉ cần lý luận là có kết quả. Chắc người ra đề ko để ý đến chuyện điểm A bất ngờ nằm trên d.

Ta thấy \(\left(2-2+1\right)\left(1-0+1\right)=2>0\Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\Delta\)

Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\)

BB' có phương trình \(2x+y+m=0\)

Do B thuộc đường thẳng BB' nên \(m=-2\Rightarrow BB':2x+y-2=0\)

B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow B'=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

a, \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'\)

\(min=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

b, \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MB'\right|\le AB'\)

\(max=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)

\(\Leftrightarrow...\)

M thuộc Oy \(\Rightarrow M\left(0;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(1;y-3\right)\end{matrix}\right.\)

ABM vuông tại B \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BM}=0\)

\(\Rightarrow-2+y-3=0\Rightarrow y=5\)

\(\Rightarrow M\left(0;5\right)\)

a: Δ//d

=>Δ: 2x-y+c=0

Thay x=1 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+2+2=0

=>c=-4

b: B thuộc d nên B(x;2x+3)

M(1;-2); A(0;3)

\(\overrightarrow{MA}=\left(-1;5\right);\overrightarrow{MB}=\left(x-1;2x+5\right)\)

ΔBAM vuông tại M

=>-1(x-1)+5(2x+5)=0

=>-x+1+10x+25=0

=>9x=-26

=>x=-26/9

=>B(-26/9;-25/9)

Thay tọa độ A và B vào d thấy kết quả cùng dấu \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với d

Gọi C là điểm đối xứng A qua d \(\Rightarrow MA=CM\Rightarrow MA+MB=CM+MB\ge CB\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất khi M;B;C thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng BC và d

Phương trình d' qua A và vuông góc d có dạng:

\(1\left(x-1\right)+2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+2y-1=0\)

D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-1;1\right)\)

C đối xứng A qua d khi và chỉ khi D là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(-3;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(5;0\right)=5\left(1;0\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng:

\(0\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow y-1=0\)

M là giao điểm d và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{2};1\right)\)