a: vecto AB=(6;-4)

PTTS là:

x=-6+6t và y=3-4t

b: Vì (d) vuông góc AB nên (d) có VTPT là (3;-2)

Phương trình(d) là:

3(x-3)+(-2)(y-2)=0

=>3x-9-2y+4=0

=>3x-2y-5=0

Do M thuộc đường thẳng 2x-y+3=0 nên gọi M(x;2x+3)

gọi G là trọng tâm tam giác ABC

ta có G(-1;4/3)

ta chứng minh được \(3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

=> \(\overrightarrow{3MG}\)=(3.(-1-x);3(4/3-2x-3))

=(-3-x;-5-6x)

=> độ dài \(\overrightarrow{3MG}\)=\(\sqrt{\left(-3-x\right)^2+\left(-5-6x\right)^2}\)=\(\sqrt{37x^2+66x+34}=\sqrt{37\left(x^2+2\frac{33x}{37}+\frac{33^2}{37^2}+\frac{169}{1369}\right)}=\sqrt{37\left(x+\frac{33}{37}\right)^2+\frac{169}{37}}\) vậy GTNN của đọ dài tổng ba véc tơ là \(\frac{13}{\sqrt{37}}\)

đó là đọ dài véc tơ chứ không phải dấu giá trị tuyệt đối đâu nhé

nếu mình sai sót chỗ nào thì bạn cứ theo hướng đó mà làm sẽ ra thôi

thank you bạn

Do \(M\in d\Rightarrow M\left(a;2a+3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-6-a;-2a\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-a;-4-2a\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(3-a;-1-2a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(-3-3a;-5-6a\right)\)

\(\Rightarrow P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{\left(3a+3\right)^2+\left(6a+5\right)^2}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{45a^2+78a+34}=\sqrt{45\left(a+\frac{13}{15}\right)^2+\frac{1}{5}}\ge\sqrt{\frac{1}{5}}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{1}{\sqrt{5}}\) khi \(a=-\frac{13}{15}\Rightarrow M\left(-\frac{13}{15};\frac{19}{15}\right)\)

Đề kiểu gì mà cho điểm A nằm ngay trên đường thẳng d như vậy nhỉ?

Theo BĐT tam giác ta có:

\(MA+MB\ge AB\)

Dấu "=" xảy ra khi M, A, B thẳng hàng, hay M là giao điểm của AB và d

Nhưng do A nằm trên d nên giao điểm của AB và d chính là A

Vậy M trùng A, hay M có tọa độ \(M\left(3;4\right)\)

//Ko cần tính toán bất kì 1 bước nào hết, chỉ cần lý luận là có kết quả. Chắc người ra đề ko để ý đến chuyện điểm A bất ngờ nằm trên d.

a/ Hai điểm A;B nằm khác phía so với d

Các bước giải:

- Viết phương trình AB

- Tìm giao điểm M của AB và d

- M chính là điểm cần tìm

b/ Hai điểm A;B nằm cùng phía so với d

Các bước giải:

- Tìm tọa độ A' đối xứng A qua d

- Viết phương trình đường thẳng A'B

- Tìm tọa độ giao điểm M của A'B và d

- M chính là điểm cần tìm

Gọi \(M\left(m;2m-3\right)\)

C1:

Khi đó \(\overrightarrow{MA}=\left(-m;-2m\right)\) và \(\overrightarrow{BM}=\left(m-1;2m-6\right)\)

Ta có \(AM+MB=\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{BM}\right|\)\(\ge\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right|\)\(=\sqrt{\left(-m+m-1\right)^2+\left(-2m+2m-6\right)^2}\)\(=\sqrt{37}\)

Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó, \(M\left(0;-3\right)\)

C2:

Áp dụng BĐT tam giác mở rộng, ta có

 \(AM+MB\ge AB=\sqrt{37}\)

Giải ra cũng tìm được \(M\left(0;-3\right)\) thoả mãn

A,B cùng phía so với d.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d

MA+MB=MA'+MB>=A'B

Dấu = xảy ra khi A',M,B thẳng hàng

=>M là giao của A'B với d

Gọi d' là đường đi qua A và vuông góc d

d: 2x-y-3=0

=>d': x+2y+c=0

Thay x=0 và y=-3 vào (d'),ta được:

0+2*(-3)+c=0

=>c=6

=>d': x+2y+6=0

Gọi H là giao của d' và d

Tọa độ H là:

x+2y=-6 và 2x-y=3

=>x=0 và y=-3

H là trung điểm của AA' nên ta có:

0+x=0 và y-3=-6

=>x=0 và y=-3

=>A'(0;-3)

mà B(1;3) nên A'B có VTPT là (-6;1)

Phương trình A'B là:

-6(x-1)+1(y-3)=0

=>-6x+6+y-3=0

=>-6x+y+3=0

Tọa độ M là:

-6x+y=-3 và 2x-y=3

=>x=0 và y=-3

Thay tọa độ P, Q vào phương trình \(\Delta\) ta được 2 giá trị cùng dấu \(\Rightarrow\) P, Q nằm cùng phía so với \(\Delta\)

Gọi A là điểm đối xứng với \(P\) qua \(\Delta\Rightarrow AM=PM\)

\(\Rightarrow MP+MQ=AM+MQ\ge AQ\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, M, Q thẳng hàng hay M là giao điểm AQ và \(\Delta\)

Phương trình đường thẳng d qua P và vuông góc \(\Delta\) có dạng:

\(1\left(x-1\right)+2\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow x+2y-13=0\)

Tọa độ giao điểm H giữa d và \(\Delta\) là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x+2y-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(3;5\right)\)

A đối xứng P qua \(\Delta\) khi và chỉ khi H là trung điểm AP \(\Rightarrow A\left(5;4\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{QA}=\left(8;8\right)=8\left(1;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AQ nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình AQ:

\(1\left(x+3\right)-1\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\2x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\)