Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(4a^2+9b^2\ge2\sqrt{4a^2.9b^2}=2.6ab=12ab\)

\(9b^2+25c^2\ge2\sqrt{9b^2.25c^2}=2.15bc=30bc\)

\(4a^2+25c^2\ge2\sqrt{4a^2.25c^2}=2.10ac=20ac\)

Cộng từng vế của các BĐT trên:

\(2\left(4a^2+9b^2+25c^2\right)\ge2\left(6ab+10ac+15bc\right)\)

\(\Rightarrow4a^2+9b^2+25c^2\ge6ab+10ac+15bc\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=0\))

\(\text{BĐT}\Leftrightarrow\frac{\left(4a-3b-5c\right)^2+3\left(3b-5c\right)^2}{4}\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4a=3b+5c\\3b=5c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4a=6b\\4a=10c\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b=\frac{5}{2}c\)

Không chắc chỗ dấu bằng cho lắm:)

Bđt cần CM tương đương với: 

\(\left(\sqrt{a^2+15bc}+\sqrt{b^2+15ca}+\sqrt{c^2+15ab}\right)^2\le3\left[a^2+b^2+c^2+15\left(ab+bc+ca\right)\right]\)

Ta cần cm \(3\left[a^2+b^2+c^2+15\left(ab+bc+ca\right)\right]\le16\left(a+b+c\right)^2\)

Rút gọn ta đc \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

Bđt sau cùng đúng

Ta đc đpcm

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(4a^2+9b^2\right)\left(2^2+2^2\right)\ge\left(2a.1-3b.2\right)^2=\left(4a-6b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow4a^2+9b^2\ge\dfrac{1}{8}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{8};b=\dfrac{-1}{12}\).

\(4a^2+9b^2\ge12ab\)

\(\left(2a\right)^2+\left(3b\right)^2-12ab\ge0\)

\(\left(2a\right)^2-2\cdot2a\cdot3b+\left(3b\right)^2\ge0\)

\(\left(2a-3b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

ta có: 4a² + 9b² - 12ab = (2a)² - 2.2a.3b + (3b)² =  ( 2a-3b)²

mà \(\left(2a-3b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow4a^2+9b^2-12ab\ge0\Rightarrow4a^2+9b^2\ge12ab\)

4a²+9b²+16c²=4a+6b+8c+3 <=>4a²-4a+1+9b²-6b+1+16c²-8c+1=6 <=> (2a-1)²+(3b-1)²+(4c-1)²=6. hướng dẫn đến đây nhe bạn

a) \(a^2+2a+1-b^2\)

\(=\left(a+1\right)^2-b^2\)

\(=\left(a+1-b\right)\left(a+1+b\right)\)

b) \(4a^2+4a+1-9b^2\)

\(=\left(2a\right)^2+4a+1-\left(3b\right)^2\)

\(=\left(2a+1\right)^2-\left(3b\right)^2\)

\(=\left(2a+1-3b\right)\left(2a+1+3b\right)\)

\(a.2a+4b+\left(-4b+5a\right)-\left(6a-9b\right)\) 

\(=2a+4b-4b+5a-6a+9b\) 

\(=\left(2a+5a-6a\right)+\left(4b-4b+9b\right)\) 

\(=a+9b\) 

\(b.6a\left[b+3a-\left(4a-b\right)\right]\) 

\(=6a\left[b+3a-4a+b\right]\) 

\(=6a\left[4a-a+b+b\right]\) 

\(=6a\left(3a-2b\right)\)