Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab=16\Rightarrow a+b\ge4\Rightarrow a+b-4\ge0\)

\(P=\dfrac{1+b+1+a}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}=\dfrac{a+b+2}{a+b+5}\)

\(P=\dfrac{3a+3b+6}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2\left(a+b+5\right)+\left(a+b-4\right)}{3\left(a+b+5\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+5\right)}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2}{3}\)

\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(a=b=2\)

trả lời lẹ cho tui cấy

 Cosi: ab <= 1/4 
Quy đồng P, ta đc: 
P = (2ab+1)/(ab+2). 
Ta cm P <= 2/3 
<=> 3(2ab+1) <= 2(ab+2) 
<=> ab<= 1/4 (đúng) 
Vậy maxP = 2/3 khi a=b =1/2

\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}+\frac{4}{ab\left(a+b\right)}\)

\(\ge\left(\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\right)+\frac{1}{ab}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge16+4=20\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

Ta có : \(a+\frac{1}{b}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+1}{b}\le1\Rightarrow ab+1\le b\)  ( vì a ; b > 0 ) 

Mặt khác : \(2\sqrt{ab}\le ab+1\) ( BĐT Cô - si ) 

Suy ra : \(b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\Leftrightarrow\frac{b}{a}\ge4\)

Đặt b/a = t ( t >= 4 ) , ta có : \(A=\frac{1}{t}+t=\frac{1}{t}+\frac{t}{16}+\frac{15}{16}t\)

Đến đây bn làm nốt 

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^