1. Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}=\widehat{A}+\widehat{ACN}+\widehat{ANC}=180^0\)(theo định lí tổng 3 góc của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{ABM}+90^0=\widehat{A}+\widehat{ACN}+90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

2. Vì Bx vuông góc với AB

CN vuông góc với AB

\(\Rightarrow\)Bx // CN

hay CH // BD

Vì Cy vuông góc với AC

BM vuông góc với AC

\(\Rightarrow\)BM // Cy

hay BH // Cy

3. Ta có: BH // CD cắt CH // BD

\(\Rightarrow\)BH = CD và CH = BD (theo tính chất đoạn chắn)

* Tính chất đoạn chắn: Nếu 2 đường thẳng song song cắt 2 đường thẳng song song thì chúng bằng nhau

Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AE+EB=AB(E nằm giữa A và B)

AD+DC=AC(D nằm giữa A và C)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

và AD=AE(cmt)

nên EB=DC

Ta có: ΔABD=ΔACE(cmt)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{EBK}=\widehat{DCK}\)

Xét ΔEBK vuông tại E và ΔDCK vuông tại D có

EB=DC(cmt)

\(\widehat{EBK}=\widehat{DCK}\)(cmt)

Do đó: ΔEBK=ΔDCK(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒BK=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=\widehat{ABM}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BM)

\(\widehat{ACB}+\widehat{MCB}=\widehat{ACM}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CM)

mà \(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\left(=90^0\right)\)

và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)

Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)(cmt)

nên ΔMBC cân tại M(Định lí đảo của tam giác cân)

⇒MB=MC

Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: KB=KC(cmt)

nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: MB=MC(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,K,M thẳng hàng(đpcm)

Tự vẽ hình nhé!

\(\Delta\)BEC vuông tại E => \(\widehat{BCE}+\widehat{ABC}=90^o\) (1)

\(\Delta\)BHC vuông tại H =>\(\widehat{HBC}+\widehat{ACB}=90^o\) (2)

\(\Delta\)ABC cân tại A =>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (3) và AB=AC => A\(\in\) trung trực BC (4)

Từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{HBC}=\widehat{ECB}\)

Xét \(\Delta\) BOC có \(\widehat{HBC}=\widehat{ECB}\) => \(\Delta\)BOC cân tại O => OB=OC => O\(\in\) trung trực BC (5)

Xét \(\Delta\)\(\perp\)ABI và \(\Delta\)\(\perp\)ACI có: AI cạch chung, AB=AC (tam giác ABC cân tại A) => \(\Delta\)=\(\Delta\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => BI=IC => I \(\in\) trung trực BC (6)

Từ (4), (5), (6) => A, O, I \(\in\) trung trực BC => A, O, I thẳng hàng => đpcm

a) Để chứng minh tam giác ABD = tam giác ACD, ta cần chứng minh hai tam giác có cạnh và góc bằng nhau. - Biết AB = AC (đề bài). - Ta có DB là đường cao của tam giác ABD và DC là đường cao của tam giác ACD. Theo định nghĩa, đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ các góc vuông góc dưới đến đáy tương ứng. - Vì AB = AC và BD ⊥ AB, CD ⊥ AC nên ta có DB = DC (hai đường cao cùng thuộc tam giác cân). => Tam giác ABD = tam giác ACD (theo nguyên lý tỷ lệ cận). b) Để chứng minh AD là tia phân giác của góc A, ta cần chứng minh rằng góc BAD = góc CAD. - Ta đã chứng minh được tam giác ABD = tam giác ACD (bài a). - Vì hai tam giác cân bằng nhau nên góc BAD = góc CAD (theo tính chất của tam giác cân). => AD là tia phân giác của góc A. c) Để chứng minh AD ⊥ AC, ta cần chứng minh góc ADB + góc ADC = 90°. - Ta đã chứng minh được tam giác ABD = tam giác ACD (bài a). - Vì hai tam giác cân bằng nhau nên góc ADB = góc ADC (theo tính chất của tam giác cân). - Góc ADB + góc ADC = 2 * góc ADB (do góc ADB = góc ADC). - Vì tam giác ABD là tam giác vuông nên góc ADB = 90° / 2 = 45°. - Do đó góc ADB + góc ADC = 45° + 45° = 90°. => AD ⊥ AC (theo tính chất của góc vuông). Vì vậy, ta đã chứng minh a), b), c).

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có

AD chung

AB=AC

=>ΔABD=ΔACD

b: ΔABD=ΔACD

=>góc BAD=góc CAD
=>AD là phân giác của góc BAC